FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 10 kN 位于 5 mP₂ = 60 kN 位于 9 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 35 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 3 到 6 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 10 kN ↓F: 25 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓F: 25 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 9.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

x_c = m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 24 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 130 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 130 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 160 mm、厚 10 mm，总高度 500 mm，腹板厚 10 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 200 kN·m。求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σ_j 的大小。

B = 160 mmH = 500 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 12 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8.5 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2 m 的超固结黏土，C_c = 0.2，C_r = 0.04，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 45 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 30 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2 mC_c = 0.2C_r = 0.04e₀ = 0.9σ′₀ = 45 kPaOCR = 2Δσ = 30 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 9 m 的黏土，固结系数 c_v = 5 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 9 mc_v = 5 m²/年份U = 90%T_v = 0.848单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 40 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 40 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 12 L/s？

Q = 12 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 1 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.3 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1 my = 1.3 mz = 3n = 0.015S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 600 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 26 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 30 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 100 L/sH = 26 mP_shaft = 30 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 15 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 82%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 15 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €5 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0003.6% / 12n = 2

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0004.2% / 12N = 48

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €10 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 1%r = 10%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 11 500

IRR = %

29.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 22.4 和 37.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 22.4x₂ = 37.1

P =

30.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 11 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·5 + 60·9

R_B = 590/10 = 59 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 59 = 11 kN

答案

R_A = 11 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 22.56 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 3·3·4.5

R_B = 180.5/8 = 22.56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 22.56 = 21.44 kN

答案

R_B = 22.56 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 53.75 kN (T), BC: 52.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 53.75 kN (C), GH: 31.25 kN (C), AF: 76.01 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 28.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 1.768 kN (T), DG: 30.05 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 26.25 kN (T), BC: 17.5 kN (T), CD: 17.5 kN (T), DE: 8.75 kN (T), FG: 51.25 kN (C), GH: 33.75 kN (C), AF: 72.48 kN (C), HE: 12.37 kN (C), BF: 26.25 kN (T), CG: 0, DH: 8.75 kN (T), BG: 12.37 kN (T), DG: 12.37 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 40 kN, R₂ = 40 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 60, M_D = 75 kN·m, M_E = 60, M_F = 35, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 75 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x_c = 7.719 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·9.5 = 57 kN，作用于 x̄ = 4.75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9.5·4.75

R_B = 270.8/8 = 33.84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33.84 = 23.16 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·23.16/6 = 7.719 m

答案

x_c = 7.719 m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 1.852 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 1.852 mm

答案

δ_max = 1.852 mm

8.梁的挠度

答案: δ_mid = 34.82 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 24000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 24000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·8.4 × 10¹¹) = 34.82 mm

答案

δ_mid = 34.82 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 78.96 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78.96 kN

答案

P_cr = 78.96 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 78.69 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78.69 mm

答案

d = 78.69 mm

校核：长细比 KL/r 为 101.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 39.94 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72.13 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·2.868² = 42.37 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32.87² = 2.428 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 39.94 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 39.94 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_j = 168.9 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 500 − 2·10 = 480 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·500³ − 150·480³)/12

I_x = 2.843 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 250 − 10 = 240 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·240/2.843 × 10⁸ = 168.9 MPa

答案

σ_j = 168.9 MPa

13.土中有效应力

答案: σ′ = 118.1 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 19·11 = 226 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·11 = 107.9 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 226 − 107.9 = 118.1 kPa

答案

σ′ = 118.1 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 100.4 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3.5

σ = 15.5·4 + 19.5·1 + 18·3.5 = 144.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 144.5 − 44.15 = 100.4 kPa

答案

σ′ = 100.4 kPa

15.固结沉降

答案: S = 9.341 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·45 = 90 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 45 + 30 = 75 kPa ≤ 90 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·2/(1 + 0.9)·log₁₀(75/45) = 9.341 mm

答案

S = 9.341 mm

16.固结沉降

答案: t = 13.74 年

排水路径

H_dr = H = 9 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·9²/5 = 13.74 年

答案

t = 13.74 年

17.静水压力

答案: F = 14.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

答案

F = 14.71 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.889 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.75·3.75 = 141.4 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 1.953/(3.75·3.75) = 3.889 m

答案

y_cp = 3.889 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 7.436 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.273²/(2·9.81) = 0.08263 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.2)·1.273²/(2·9.81) = 7.436 m

答案

h_f = 7.436 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 5.009 m

速度

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.1 = 30

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

总水头损失

h_f = 30·0.119 = 3.569 m

h_m = 12.1·0.119 = 1.44 m

Δz = h_f + h_m = 5.009 m

答案

Δz = 5.009 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 7.42 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1.3)·1.3 = 6.37 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.3·√(1 + 3²) = 9.222 m

R = A/P = 0.6907 m

速度

V = (1/0.015)·0.6907^2/3·0.0005^1/2 = 1.165 m/s

流量

Q = A·V = 6.37·1.165 = 7.42 m³/s

答案

Q = 7.42 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003053 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.2823)² = 0.003053

答案

S = 0.003053

即每千米下降 3.053 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 85.02 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·26 = 25.51 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 25.51/30 = 85.02%

答案

η = 85.02%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 30.49 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0.3305 = 16.86 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 15 + 16.86 = 31.86 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·31.86/0.82 = 30.49 kW

答案

P_shaft = 30.49 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 4653 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·2 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.075 = €4 653.16

答案

PV = €4 653.16

26.货币的时间价值

答案: A = 566.7 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8456

A = 25 000·0.0035/(1 − 0.8456) = €566.72

答案

A = €566.72

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 11111 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 10 000/(0.1 − 0.01) = 111 111.11

NPV

NPV = 111 111.11 − 100 000 = €11 111.11

答案

NPV = €11 111.11

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.75 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 434.78

NPV(20%) = −763.89

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·434.78/(434.78 − (−763.89)) = 16.81%

精确: NPV(16.75%) = 0 → IRR = 16.75%

答案

IRR = 16.75%

29.正态分布

答案: P = 0.7475

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (22.4 − 32)/6 = −1.6

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

中间面积

P = Φ(0.85) − Φ(−1.6) = 0.8023 − 0.0548 = 0.7475

答案

P = 0.7475

30.正态分布

答案: P = 0.9909

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36

概率

P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909

答案

P = 0.9909

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