FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 0.5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 4 mP = 75 kN 位于 2.5 mM = 40 kN·m (逆时针) 位于 0.5 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 6 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 55 kN 位于 3.5 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 40 kN ↓D: 35 kN ↓F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 12 m60 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 10 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.2，C_r = 0.03，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，先期固结压力为 180 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 200 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5.5 mC_c = 0.2C_r = 0.03e₀ = 1.05σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 200 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 12 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 4 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 20 mmt_lab = 12 minH = 4 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 3 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 100 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 3 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 50 L/s？

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形未抹面混凝土渠道宽 1 m。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1 my = 1.7 mn = 0.014S = 0.0015

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 1.5 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道须以 1.1 m 的水深均匀输送 11 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 11 m³/sb = 1.5 my = 1.1 mz = 1n = 0.012

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 26 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 8 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 25 L/sH = 26 mP_shaft = 8 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 120 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 15%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 15%m = 12

EAR = %

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0002.4% / 12N = 48

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 9 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €1 000n = 9r = 10%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €6 000, €5 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 6 000CF₃ = 5 000

MIRR = %

29.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 10 个的总质量低于 396.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10< 396.2 g

P =

30.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 36.88 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 − 75·2.5 + 40 = 0

R_B = 147.5/4 = 36.88 kN

竖向平衡

R_A = 75 − 36.88 = 38.13 kN

答案

R_B = 36.88 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: M_A = 208.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 12·1.333 + 55·3.5 = 208.5 kN·m

答案

M_A = 208.5 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 93.33 kN (T), BC: 93.33 kN (T), CD: 120 kN (T), DE: 120 kN (T), FG: 160 kN (C), GH: 160 kN (C), AF: 116.7 kN (C), HE: 150 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 83.33 kN (T), HC: 50 kN (T)

答案

零杆: BF

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −1.62 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 + 10·3 → C_y = 34.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 34.17 = 0.8333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −0.8333/0.5145 = −1.62 kN

答案

F_AB = −1.62 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 52.5 kN, R₂ = 52.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 170, M_D = 225 kN·m, M_E = 170, M_F = 95, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 225 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 102 kN, R₂ = 153 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 174, M_C = 288 kN·m, M_D = 222, M_E = 96, M_F = −90, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 288 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 7.266 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 7.266 mm

答案

δ_max = 7.266 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 3.333 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·4000³/(48·2.4 × 10¹³) = 0.5556 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 2.778 mm

相加

δ_max = 0.5556 + 2.778 = 3.333 mm

答案

δ_max = 3.333 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 4.998 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4.998 kN

答案

P_cr = 4.998 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 35.25 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

答案

σ_cr = 35.25 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 55.56 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·75 − 706.9·105)/(30000 − 706.9) = 74.28 mm

完整的板关于 ȳ

200·150³/12 + 30000·0.7239² = 56.27 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·30.72² = 0.707 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 55.56 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 55.56 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 37.17 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

腹板: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·230 + 2640·110)/6240 = 179.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·20³/12 + 3600·(230 − 179.2)² = 9.399 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·220³/12 + 2640·(110 − 179.2)² = 2.33 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.399 × 10⁶ + 2.33 × 10⁷ = 3.27 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 240 − 179.2 = 60.77 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·60.77/3.27 × 10⁷ = 37.17 MPa

答案

σ_顶部 = 37.17 MPa

13.土中有效应力

答案: σ = 65.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 20.5·1 = 65.5 kPa

答案

σ = 65.5 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 143.5 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 17·2 + 19.5·3 + 17·3 = 143.5 kPa

答案

σ = 143.5 kPa

15.固结沉降

答案: S = 127.5 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 70 + 200 = 270 kPa > 180 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·5.5/(1 + 1.05)·log₁₀(180/70) + 0.2·5.5/(1 + 1.05)·log₁₀(270/180)

S = 33.01 + 94.49 = 127.5 mm

答案

S = 127.5 mm

16.固结沉降

答案: t = 1333 天

排水路径

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 4 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 12·(4/0.01)² = 1.92 × 10⁶ min

t_field = 1.92 × 10⁶/1440 = 1333 天

答案

t = 1333 天

17.静水压力

答案: F = 104.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·2.5 = 104.2 kN

答案

F = 104.2 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·3 = 129.8 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.25/(3.5·3) = 3.524 m

答案

y_cp = 3.524 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 202.5 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.1)·3²/(2·9.81) = 20.64 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·20.64 = 202500 Pa = 202.5 kPa

答案

Δp = 202.5 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 0.6134 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.25 = 7.2

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 7.2·0.05288 = 0.3807 m

h_m = 4.4·0.05288 = 0.2327 m

Δz = h_f + h_m = 0.6134 m

答案

Δz = 0.6134 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 2.495 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 1·1.7 = 1.7 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1.7 = 4.4 m

R = A/P = 0.3864 m

速度

V = (1/0.014)·0.3864^2/3·0.0015^1/2 = 1.468 m/s

流量

Q = A·V = 1.7·1.468 = 2.495 m³/s

答案

Q = 2.495 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004027 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1·1.1)·1.1 = 2.86 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.1·√(1 + 1²) = 4.611 m

R = A/P = 0.6202 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·11/(2.86·0.7273) = 0.06346

S = 0.06346² = 0.004027

答案

S = 0.004027

即每千米下降 4.027 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 79.71 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·26 = 6.377 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 6.377/8 = 79.71%

答案

η = 79.71%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 40.01 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0.3046 = 6.092 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 16 + 6.092 = 22.09 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·22.09/0.65 = 40.01 kW

答案

P_shaft = 40.01 kW

25.货币的时间价值

答案: EAR = 16.08 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.15/12 = 0.0125

复利一年

EAR = (1 + 0.0125)¹² − 1 = 1.161 − 1 = 16.08%

答案

EAR = 16.08%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

26.货币的时间价值

答案: A = 546.8 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.9086

A = 25 000·0.002/(1 − 0.9086) = €546.75

答案

A = €546.75

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 6209 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁹)/0.1 = 5.759

年化购置价格

30 000/5.759 = 5 209.22

EAC

EAC = 5 209.22 + 1 000 = €6 209.22

答案

EAC = €6 209.22

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 20.6 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

5 500·1.06² = 6 179.80

6 000·1.06¹ = 6 360.00

5 000·1.06⁰ = 5 000.00

TV = 17 539.80

MIRR

MIRR = (17 539.80/10 000)^1/3 − 1 = 20.6%

答案

MIRR = 20.6%

29.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 400 g, σ_T = 1.2·√10 = 3.795 g

标准化

z = (396.2 − 400)/3.795 = −1

概率

P = Φ(−1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

30.正态分布

答案: x = 434 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

答案

x = 434 h

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