FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 5 mP = 10 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 40 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN

F_AB = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓C: 20 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓F: 20 kN →H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 40 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 24 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 5 mP = 35 kN 位于 2.5 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 6.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.04，e₀ = 0.6。其中点深度处的竖向有效应力为 75 kPa ，先期固结压力为 185 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 120 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3.5 mC_c = 0.3C_r = 0.04e₀ = 0.6σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 5 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 6 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 5 minH = 6 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.6 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.6 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 40 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 40 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 4 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4 my = 2.4 mz = 1.5n = 0.014S = 0.0008

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 5.5 m 的矩形植草土渠渠道须以 1.8 m 的水深均匀输送 25 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 25 m³/sb = 5.5 my = 1.8 mn = 0.03

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 30 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 30 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 12 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 4η = 75%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €20 000g = 3%r = 6%

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在 16 年内每月月末存入 €300。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3002.4% / 12N = 192

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €20 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €20 000g = 3%r = 12%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 500, €23 500, €28 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 23 500CF₃ = 28 000

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0250。求 z，保留两位小数。

A = 0.0250

z =

30.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 60 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m

竖向平衡

R_A = P + W = 10 + 50 = 60 kN

答案

R_A = 60 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 37.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 4·1·2.5

R_B = 50/8 = 6.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 6.25 = 37.75 kN

答案

R_A = 37.75 kN

3.桁架：节点法

答案: F_AB = −7.731 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 → C_y = 2.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2.5 = 7.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7.5/0.9701 = −7.731 kN

答案

F_AB = −7.731 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 46.25 kN (T), DE: 46.25 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 47.92 kN (C), HE: 77.08 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 10.42 kN (T), HC: 14.58 kN (T)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 20 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15·4 − 5·4·2 = 20 kN·m

答案

M_x = 20 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 3·8·4

R_B = 216/8 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 27 = 37 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37·4 − 40·(4 − 3) − 3·4·2 = 84 kN·m

答案

M_x = 84 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_P = 6.061 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 24000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2000²·1000²/(3·1.76 × 10¹²·3000) = 6.061 mm

答案

δ_P = 6.061 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 10.94 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN

答案

R_B = 10.94 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 69.21 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1750² = 69210 N = 69.21 kN

答案

P_cr = 69.21 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 11.99 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

答案

σ_cr = 11.99 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 25.43 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

腹板: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·245 + 2880·120)/3880 = 152.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(245 − 152.2)² = 8.617 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·240³/12 + 2880·(120 − 152.2)² = 1.681 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.617 × 10⁶ + 1.681 × 10⁷ = 2.543 × 10⁷ mm⁴ = 25.43 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 25.43 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 4.032 kN·m

形心

ȳ = (7000·132.5 + 2160·60)/9160 = 115.4 mm

上边缘: c = 145 − 115.4 = 29.6 mm

惯性矩

I = 280·25³/12 + 7000·17.1² + 18·120³/12 + 2160·55.4² = 1.163 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 100·1.163 × 10⁷/29.6 = 39.31 kN·m

下边缘: M = 40·1.163 × 10⁷/115.4 = 4.032 kN·m

控制值

M_allow = min = 4.032 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 4.032 kN·m

13.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 53.96 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

答案

u = 53.96 kPa

15.固结沉降

答案: S = 49.31 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 75 + 120 = 195 kPa > 185 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·3.5/(1 + 0.6)·log₁₀(185/75) + 0.3·3.5/(1 + 0.6)·log₁₀(195/185)

S = 34.31 + 15 = 49.31 mm

答案

S = 49.31 mm

16.固结沉降

答案: t = 200 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 6/2 = 3 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 5·(3/0.0125)² = 288000 min

t_field = 288000/1440 = 200 天

答案

t = 200 天

17.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.25/(3.5·3) = 3.524 m

答案

y_cp = 3.524 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 256 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(1000/0.075)·1.6²/(2·9.81) = 26.1 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·26.1 = 256000 Pa = 256 kPa

答案

Δp = 256 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 91.3 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.15 = 22

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

40 = (22 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·40/29.4) = 5.167 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.167·0.01767 = 0.0913 m³/s = 91.3 L/s

答案

Q = 91.3 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 47.02 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·2.4)·2.4 = 18.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.4·√(1 + 1.5²) = 12.65 m

R = A/P = 1.442 m

速度

V = (1/0.014)·1.442^2/3·0.0008^1/2 = 2.578 m/s

流量

Q = A·V = 18.24·2.578 = 47.02 m³/s

答案

Q = 47.02 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.005129 m/m

几何参数

A = b·y = 5.5·1.8 = 9.9 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·1.8 = 9.1 m

R = A/P = 1.088 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·25/(9.9·1.058) = 0.07162

S = 0.07162² = 0.005129

答案

S = 0.005129

即每千米下降 5.129 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 5.886 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·30 = 4.415 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 4.415/0.75 = 5.886 kW

答案

P_shaft = 5.886 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 8.829 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 4)·0.2611 = 4.875 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 12 + 4.875 = 16.87 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·16.87/0.75 = 8.829 kW

答案

P_shaft = 8.829 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 666667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.06 − 0.03) = 20 000/0.03 = €666 666.67

答案

PV = €666 666.67

26.货币的时间价值

答案: FV = 70137 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·16 = 192

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.468 − 1)/0.002 = €70 137.38

答案

FV = €70 137.38

你自己存入了 €57 600；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 22222 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 20 000/(0.12 − 0.03) = 222 222.22

NPV

NPV = 222 222.22 − 200 000 = €22 222.22

答案

NPV = €22 222.22

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.93 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 2 576.00

NPV(30%) = −657.72

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·2 576.00/(2 576.00 − (−657.72)) = 28.98%

精确: NPV(28.93%) = 0 → IRR = 28.93%

答案

IRR = 28.93%

29.正态分布

答案: z = 1.96

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0250 = 0.9750

反向查 z 表

在表中找到 0.9750，读出 z。

z = 1.96

答案

z = 1.96

30.正态分布

答案: x = 169 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm

答案

x = 169.03 cm

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