FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 4 kN/m。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mw₀ = 4 kN/m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP = 30 kN 位于 1.5 mw = 5 kN/m，从 1 到 6 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 7 mP₁ = 70 kN 位于 3.5 mP₂ = 45 kN 位于 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_B = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 3 m

x₀ = m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 29 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 30 kNw = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 70 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 70 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 14 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³黏土: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.05，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，超固结比 OCR = 3。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 90 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5.5 mC_c = 0.4C_r = 0.05e₀ = 0.85σ′₀ = 100 kPaOCR = 3Δσ = 90 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 4.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 0.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 80% 时，时间因数 T_v = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？

H = 4.5 mc_v = 0.5 m²/年份U = 80%T_v = 0.567双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1 m/s 的速度流过一根长 200 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1 m/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 40 L/s？

Q = 40 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 2.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 1.5 mz = 1n = 0.015S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 4 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道须以 1.6 m 的水深均匀输送 27 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 27 m³/sb = 4 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.015

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 82% 的水泵以 60 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sH = 60 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 80%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €2 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0004.8% / 4n = 9

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 6 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €25 0004.8% / 12N = 72

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€8 000, €8 000, €8 000, €8 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €8 500, €8 500, €10 500。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 500CF₃ = 10 500

MIRR = %

29.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 470 和 574 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 470x₂ = 574

P =

30.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 4 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·4

R_B = 8 kN

R_A = 12 − 8 = 4 kN

答案

R_A = 4 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 22.08 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1.5 + 5·5·3.5

R_B = 132.5/6 = 22.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 22.08 = 32.92 kN

答案

R_B = 22.08 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 73.75 kN (T), BC: 73.75 kN (T), CD: 46.25 kN (T), DE: 46.25 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 104.3 kN (C), HE: 65.41 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 8.839 kN (C), HC: 30.05 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −47.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 − 25·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 26.25 = 33.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33.75/0.7071 = −47.73 kN

答案

F_AB = −47.73 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: M_B = −45 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·3.5 + 45·7

R_B = 560/6 = 93.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 93.33 = 21.67 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上只作用 P₂，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。

M_B = −P₂·a = −45·1 = −45 kN·m

答案

M_B = −45 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 1.875 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·3·1.5

R_B = 18/4 = 4.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 4.5 = 7.5 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 7.5/4 = 1.875 m

答案

x₀ = 1.875 m

7.梁的挠度

答案: δ = 3.195 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 29000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 29000·1500³/(3·1.12 × 10¹³) = 2.913 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 0.2825 mm

相加

δ = 2.913 + 0.2825 = 3.195 mm

答案

δ = 3.195 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 74.07 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 30000 N, w = 4 N/mm, L = 8000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·8000³/(48·7.2 × 10¹²) = 44.44 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 29.63 mm

相加

δ_max = 44.44 + 29.63 = 74.07 mm

答案

δ_max = 74.07 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 71.06 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71.06 kN

答案

P_cr = 71.06 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 63.05 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 63.05 mm

答案

d = 63.05 mm

校核：长细比 KL/r 为 111，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 99.67 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 706.9·80)/(30000 − 706.9) = 100.5 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·−0.4826² = 100 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−20.48² = 0.3363 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 99.67 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 99.67 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 7.188 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (1600·285 + 3360·140)/4960 = 186.8 mm

上边缘: c = 290 − 186.8 = 103.2 mm

惯性矩

I = 160·10³/12 + 1600·98.23² + 12·280³/12 + 3360·46.77² = 4.475 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 90·4.475 × 10⁷/103.2 = 39.02 kN·m

下边缘: M = 30·4.475 × 10⁷/186.8 = 7.188 kN·m

控制值

M_allow = min = 7.188 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 7.188 kN·m

13.土中有效应力

答案: σ′ = 151.9 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 19·10 = 250 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·10 = 98.1 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 250 − 98.1 = 151.9 kPa

答案

σ′ = 151.9 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 106.2 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3.5

σ = 15.5·3 + 19·3 + 19·3.5 = 170 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 170 − 63.77 = 106.2 kPa

答案

σ′ = 106.2 kPa

15.固结沉降

答案: S = 41.44 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·100 = 300 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 100 + 90 = 190 kPa ≤ 300 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·5.5/(1 + 0.85)·log₁₀(190/100) = 41.44 mm

答案

S = 41.44 mm

16.固结沉降

答案: t = 5.741 年

排水路径

H_dr = H/2 = 4.5/2 = 2.25 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·2.25²/0.5 = 5.741 年

答案

t = 5.741 年

17.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·3 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

18.静水压力

答案: F = 120.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·3 = 120.7 kN

答案

F = 120.7 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 6 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(200/0.3)·1²/(2·9.81) = 0.6116 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.6116 = 6000 Pa = 6 kPa

答案

Δp = 6 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 8.905 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.15 = 22

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

总水头损失

h_f = 22·0.2611 = 5.745 m

h_m = 12.1·0.2611 = 3.16 m

Δz = h_f + h_m = 8.905 m

答案

Δz = 8.905 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 11.7 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1·1.5)·1.5 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.5·√(1 + 1²) = 6.743 m

R = A/P = 0.8899 m

速度

V = (1/0.015)·0.8899^2/3·0.001^1/2 = 1.95 m/s

流量

Q = A·V = 6·1.95 = 11.7 m³/s

答案

Q = 11.7 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001469 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·1.6)·1.6 = 10.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 9.769 m

R = A/P = 1.048 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·27/(10.24·1.032) = 0.03833

S = 0.03833² = 0.001469

答案

S = 0.001469

即每千米下降 1.469 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 28.71 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·60 = 23.54 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 23.54/0.82 = 28.71 kW

答案

P_shaft = 28.71 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 4.795 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.5 + 8)·0.08263 = 1.776 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 8 + 1.776 = 9.776 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·9.776/0.8 = 4.795 kW

答案

P_shaft = 4.795 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 3073 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·9 = 36

终值

FV = 2 000·(1 + 0.012)³⁶ = 2 000·1.536 = €3 072.76

答案

FV = €3 072.76

26.货币的时间价值

答案: I = 3822 €

月供

i = 0.004, N = 72

A = 25 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻⁷²) = €400.31

利息总额

I = N·A − P = 72·400.3 − 25 000 = €3 822.19

答案

I = €3 822.19

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 8368 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 8 000/1.05 = 7 619.05

CF₂/(1 + 0.05)² = 8 000/1.103 = 7 256.24

CF₃/(1 + 0.05)³ = 8 000/1.158 = 6 910.70

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 8 000/1.216 = 6 581.62

相加

NPV = €8 367.60

答案

NPV = €8 367.60

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 13.95 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

8 500·1.08² = 9 914.40

8 500·1.08¹ = 9 180.00

10 500·1.08⁰ = 10 500.00

TV = 29 594.40

MIRR

MIRR = (29 594.40/20 000)^1/3 − 1 = 13.95%

答案

MIRR = 13.95%

29.正态分布

答案: P = 0.7412

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (470 − 500)/40 = −0.75

z₂ = (574 − 500)/40 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−0.75) = 0.9678 − 0.2266 = 0.7412

答案

P = 0.7412

30.正态分布

答案: x = 243.6 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 250 − 1.28·5 = 243.6 g

答案

x = 243.6 g

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