梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 10 mP1 = 50 kN 位于 7 mP2 = 30 kN 位于 8 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 4 kN/m；另在距墙 7 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 60 kN 位于 7 m
MA = kN·m
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 40 kN
FAB = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 25 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 5 m45 kN @ 3 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 40 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mP = 50 kN 位于 2.5 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 150 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 90 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。
bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 120 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 6 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 8 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 5 m 的超固结黏土，Cc = 0.3，Cr = 0.02，e₀ = 0.95。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，先期固结压力为 160 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 5 mCc = 0.3Cr = 0.02e0 = 0.95σ′0 = 70 kPaσ′p = 160 kPaΔσ = 150 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 10 m 的黏土，固结系数 cv = 1.5 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 10 mcv = 1.5 m²/年份U = 90%Tv = 0.848单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 50 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 100 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 75 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 4 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 0.9 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 4 my = 0.9 mz = 2n = 0.014S = 0.001
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条宽 3.5 m 的矩形砾石渠道 须以 2.1 m 的水深均匀输送 6.4 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 6.4 m³/sb = 3.5 my = 2.1 mn = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台效率为 85% 的水泵以 46 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 150 L/sH = 46 mη = 85%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 3
H = m
25.货币的时间价值中等
你以名义年利率 6% 投资 €8 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。
PV = €8 0006% / 4n = 8
FV = €
26.货币的时间价值困难
你希望在 5 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.8%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €75 0004.8% / 12N = 60
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€14 000, €13 000, €20 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
r = 9%CF0 = −60 000CF1 = 14 000CF2 = 13 000CF3 = 20 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €7 500, €7 500, €11 000。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 8%CF0 = −25 000CF1 = 7 500CF2 = 7 500CF3 = 11 000
MIRR = %
29.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9306。求 z，保留两位小数。
A = 0.9306
z =
30.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 21 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·10 = 50·7 + 30·8
RB = 590/10 = 59 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 59 = 21 kN
答案
RA = 21 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 553.3 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 20·6.667 + 60·7 = 553.3 kN·m
答案
MA = 553.3 kN·m
3.桁架：节点法
答案: FAB = −24.01 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·5 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 25 = 15 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/6.403 = 0.6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.6247 = −24.01 kN
答案
FAB = −24.01 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FAB = −23.29 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 − 25·2 → Cy = −5.833 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −5.833 = 20.83 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20.83/0.8944 = −23.29 kN
答案
FAB = −23.29 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 3 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 26.67 kN, R2 = 43.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 26.67, MC = 53.33, MD = 80 kN·m, ME = 61.67, MF = 43.33, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 80 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 60 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 10·4·2
RB = 160/4 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 40·2 − 10·2·1 = 60 kN·m
答案
Mx = 60 kN·m
7.梁的挠度
答案: θA = 0.01225 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 4·5000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.01225 rad
答案
θA = 0.01225 rad
即 0.7022°。
8.梁的挠度
答案: RB = 15.63 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN
答案
RB = 15.63 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 94.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94.2 kN
答案
Pcr = 94.2 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 88.71 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·150000 = 375000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 88.71 mm
答案
d = 88.71 mm
校核：长细比 KL/r 为 180.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 5.911 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
腹板: Aw = 16·100 = 1600 mm², yw = 100/2 = 50 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·110 + 1600·50)/6800 = 95.88 mm
平行移轴定理
翼缘: 260·20³/12 + 5200·(110 − 95.88)² = 1.21 × 10⁶ mm⁴
腹板: 16·100³/12 + 1600·(50 − 95.88)² = 4.702 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.21 × 10⁶ + 4.702 × 10⁶ = 5.911 × 10⁶ mm⁴ = 5.911 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 5.911 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Mallow = 4.776 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (3600·130 + 1200·60)/4800 = 112.5 mm
上边缘: c = 140 − 112.5 = 27.5 mm
惯性矩
I = 180·20³/12 + 3600·17.5² + 10·120³/12 + 1200·52.5² = 5.97 × 10⁶ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
负弯矩：上侧受拉，下侧受压。
上边缘: M = 50·5.97 × 10⁶/27.5 = 10.85 kN·m
下边缘: M = 90·5.97 × 10⁶/112.5 = 4.776 kN·m
控制值
Mallow = min = 4.776 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 4.776 kN·m
13.土中有效应力
答案: σ′ = 70.76 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 19.5·4 = 110 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 110 − 39.24 = 70.76 kPa
答案
σ′ = 70.76 kPa
14.土中有效应力
答案: u = 39.24 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
答案
u = 39.24 kPa
15.固结沉降
答案: S = 124.8 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 70 + 150 = 220 kPa > 160 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.02·5/(1 + 0.95)·log₁₀(160/70) + 0.3·5/(1 + 0.95)·log₁₀(220/160)
S = 18.41 + 106.4 = 124.8 mm
答案
S = 124.8 mm
16.固结沉降
答案: t = 56.53 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 10 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·10²/1.5 = 56.53 年
答案
t = 56.53 年
17.静水压力
答案: F = 103 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN
答案
F = 103 kN
18.静水压力
答案: F = 55.62 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3·1.5 = 55.62 kN
答案
F = 55.62 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.5923 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(100/0.25)·1.019²/(2·9.81) = 0.5923 m
答案
hf = 0.5923 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 5.868 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
损失系数
f·L/D = 0.025·100/0.2 = 12.5
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 12.5 + 6.7)·0.2905 = 5.868 m
答案
H = 5.868 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 8.852 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (4 + 2·0.9)·0.9 = 5.22 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0.9·√(1 + 2²) = 8.025 m
R = A/P = 0.6505 m
速度
V = (1/0.014)·0.65052/3·0.0011/2 = 1.696 m/s
流量
Q = A·V = 5.22·1.696 = 8.852 m³/s
答案
Q = 8.852 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0005042 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 3.5·2.1 = 7.35 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·2.1 = 7.7 m
R = A/P = 0.9545 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·6.4/(7.35·0.9695) = 0.02245
S = 0.02245² = 0.0005042
答案
S = 0.0005042
即每千米下降 0.5042 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 79.63 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·46 = 67.69 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 67.69/0.85 = 79.63 kW
答案
Pshaft = 79.63 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 20.38 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 3)·0.408 = 9.385 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 11 + 9.385 = 20.38 m
答案
H = 20.38 m
25.货币的时间价值
答案: FV = 12883 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·8 = 32
终值
FV = 8 000·(1 + 0.015)32 = 8 000·1.61 = €12 882.59
答案
FV = €12 882.59
26.货币的时间价值
答案: A = 1108 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·5 = 60
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 75 000·0.004/(1.271 − 1) = €1 108.48
答案
A = €1 108.48
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = −20770 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 14 000/1.09 = 12 844.04
CF2/(1 + 0.09)2 = 13 000/1.188 = 10 941.84
CF3/(1 + 0.09)3 = 20 000/1.295 = 15 443.67
相加
NPV = €−20 770.45
答案
NPV = €−20 770.45
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 3.662 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
7 500·1.082 = 8 748.00
7 500·1.081 = 8 100.00
11 000·1.080 = 11 000.00
TV = 27 848.00
MIRR
MIRR = (27 848.00/25 000)1/3 − 1 = 3.662%
答案
MIRR = 3.662%
29.正态分布
答案: z = −1.48
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9306 = 0.0694
反向查 z 表
在表中找到 0.0694，读出 z。
z = −1.48
答案
z = −1.48
30.正态分布
答案: x = 243.6 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 250 − 1.28·5 = 243.6 g
答案
x = 243.6 g
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