FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 10 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?2.5 m2.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 5 mP = 35 kN 位于 2.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 5 mP = 25 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 3 到 4 m
RA = kN
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB15 kN5 m3 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 15 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN5 kN4 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 5 kN →
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
w = 6 kN/mAB截面0.5 m3.5 m

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
15 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 12 m15 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mABθ4 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
w = 6 kN/mP = 22 kNδL = 2 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 22 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 4 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 15 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 15 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
B = 160H = 350t = 18x尺寸单位为 mm

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 160 mm，外高 H = 350 mm，壁厚均为 t = 18 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 160 mmH = 350 mmt = 18 mm
r = mm
12.形心和惯性矩困难
1602522010xM = 30 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 30 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³13 m地下水位Xz = 9 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 9 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³4 m黏土γsat​ = 17.5 kN/m³7 m地下水位Xz = 7.5 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 7.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 17.5 kN/m³
σ = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 190 kPa砂黏土Cc​ = 0.35, Cr​ = 0.03e0​ = 0.9σ′0​ = 55 kPaσ′p​ = 125 kPa3.5 m地下水位

一层厚 3.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.35，Cr = 0.03，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，先期固结压力为 125 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 190 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3.5 mCc = 0.35Cr = 0.03e0 = 0.9σ′0 = 55 kPaσ′p = 125 kPaΔσ = 190 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 2 mcv​ = 1.2 m²/年份2 m不透水岩层地下水位

一层厚 2 m 的黏土，固结系数 cv = 1.2 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 50% 时，时间因数 Tv = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 2 mcv = 1.2 m²/年份U = 50%Tv = 0.197单面排水
t = 年
17.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
Q = 100 L/sD = 200 mmL = 300 mf = 0.022

水以 100 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 10自由出流H = ?L = 150 m, D = 200 mm, f = 0.0254× 弯头 (K = 0.3)

一根长 150 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 40 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 40 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
b = 5.5 my = 2.1 mn = 0.025, S = 0.002

一条矩形砾石渠道宽 5.5 m。水以 2.1 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5.5 my = 2.1 mn = 0.025S = 0.002
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
b = 4 my = 1.9 mn = 0.025, Q = 12 m³/s

一条宽 4 m 的矩形砾石渠道 须以 1.9 m 的水深均匀输送 12 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 12 m³/sb = 4 my = 1.9 mn = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 25 L/sH = 58 m

在一次试验中，水泵以 58 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 17.3 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 25 L/sH = 58 mPshaft = 17.3 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
PQ = 50 L/sΔz = 38 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.025, ΣK = 6

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 38 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 65%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 38 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6η = 65%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
年01234567€2 000FV = ?

你以每年 7% 的利率连续复利投资 €2 000。求 7 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 7%t = 7
FV = €
26.货币的时间价值困难
月0123…108A?AA€30 000

你希望在 9 年后得到 €30 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €30 0004.2% / 12N = 108
A = €
27.NPV 与 IRR中等
年01234−60 00014 00023 00019 00021 000

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €23 000, €19 000, €21 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF0 = −60 000CF1 = 14 000CF2 = 23 000CF3 = 19 000CF4 = 21 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
年0123−10 0003 5005 5005 500

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €3 500, €5 500, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 5 500CF3 = 5 500
IRR = %
29.正态分布中等
−3−2−10123zz 右侧的阴影面积 = 0.0329

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0329。求 z，保留两位小数。

A = 0.0329
z =
30.正态分布困难
35455565758595分底部 30%

考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分30%
x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: MA = 118.8 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 10·2.5 = 25 kN, x̄ = 1.25 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 35·2.5 + 25·1.25 = 118.8 kN·m

答案

MA = 118.8 kN·m
2.梁的支座反力

答案: RA = 13.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​3 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3 + 12·1·3.5
RB = 117/5 = 23.4 kN
ΣFy = 0: RA = 37 − 23.4 = 13.6 kN

答案

RA = 13.6 kN
3.桁架：节点法

答案: FBC = −12.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·3 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9 = 6 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0.7071 = −12.73 kN

答案

FBC = −12.73 kN (受压)
4.桁架：节点法

答案: FBC = −17.68 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 + 5·3 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 12.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12.5/0.7071 = −17.68 kN

答案

FBC = −17.68 kN (受压)
5.剪力和弯矩

答案: Mx = 5.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·4·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12截面0.5 m3.5 m

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 12·0.5 − 6·0.5·0.25 = 5.25 kN·m

答案

Mx = 5.25 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 30 kN, R2 = 150 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 30, MC = 0, MD = −90, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −240 kN·m
7.梁的挠度

答案: θA = 0.006349 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

端部转角

θA = wL³/(24EI) = 6·4000³/(24·2.52 × 10¹²) = 0.006349 rad

答案

θA = 0.006349 rad

即 0.3638°。

8.梁的挠度

答案: δmax = 1.069 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 22000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 22000·2000³/(48·4.6 × 10¹²) = 0.7971 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 0.2717 mm

相加

δmax = 0.7971 + 0.2717 = 1.069 mm

答案

δmax = 1.069 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 3.876 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3.876 kN

答案

Pcr = 3.876 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 28.08 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 0.5·1500 = 750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·750²/(π³·70000))^(1/4) = 28.08 mm

答案

d = 28.08 mm

校核：长细比 KL/r 为 106.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: r = 121.5 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 124 mm, h = 314 mm
A = BH − bh = 160·350 − 124·314 = 17064 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.518 × 10⁸ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(2.518 × 10⁸/17064) = 121.5 mm

答案

r = 121.5 mm
12.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 55.27 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
腹板: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·232.5 + 2200·110)/6200 = 189 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·25³/12 + 4000·(232.5 − 189)² = 7.766 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·220³/12 + 2200·(110 − 189)² = 2.261 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.766 × 10⁶ + 2.261 × 10⁷ = 3.038 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 245 − 189 = 55.97 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·55.97/3.038 × 10⁷ = 55.27 MPa

答案

σ顶部 = 55.27 MPa
13.土中有效应力

答案: σ = 166 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·4 + 20·5 = 166 kPa

答案

σ = 166 kPa
14.土中有效应力

答案: σ = 136.3 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3.5
σ = 17·2 + 20.5·2 + 17.5·3.5 = 136.3 kPa

答案

σ = 136.3 kPa
15.固结沉降

答案: S = 208.1 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′f = 55 + 190 = 245 kPa > 125 kPa

沉降

σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·3.5/(1 + 0.9)·log₁₀(125/55) + 0.35·3.5/(1 + 0.9)·log₁₀(245/125)
S = 19.7 + 188.4 = 208.1 mm

答案

S = 208.1 mm
16.固结沉降

答案: t = 0.6567 年

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr = H = 2 m

时间

t = Tv·Hdr²/cv = 0.197·2²/1.2 = 0.6567 年

答案

t = 0.6567 年
17.静水压力

答案: F = 91.97 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·2.5 = 91.97 kN

答案

F = 91.97 kN
18.静水压力

答案: ycp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.75·5 = 108.2 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

答案

ycp = 2.048 m
19.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 17.04 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s

速度水头

V²/(2g) = 3.183²/(2·9.81) = 0.5164 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(300/0.2)·3.183²/(2·9.81) = 17.04 m

答案

hf = 17.04 m
20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.599 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 18.75 + 11.7)·0.08263 = 2.599 m

答案

H = 2.599 m
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 23.21 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 5.5·2.1 = 11.55 m²
P = b + 2y = 5.5 + 2·2.1 = 9.7 m
R = A/P = 1.191 m

速度

V = (1/0.025)·1.1912/3·0.0021/2 = 2.01 m/s

流量

Q = A·V = 11.55·2.01 = 23.21 m³/s

答案

Q = 23.21 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001613 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 4·1.9 = 7.6 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1.9 = 7.8 m
R = A/P = 0.9744 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·12/(7.6·0.9828) = 0.04016
S = 0.04016² = 0.001613

答案

S = 0.001613

即每千米下降 1.613 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 82.22 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·58 = 14.22 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 14.22/17.3 = 82.22%

答案

η = 82.22%
24.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 35.65 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.67 + 6)·0.408 = 9.249 m

泵扬程

H = Δz + hL = 38 + 9.249 = 47.25 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·47.25/0.65 = 35.65 kW

答案

Pshaft = 35.65 kW
25.货币的时间价值

答案: FV = 3265 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.07·7 = 0.49
e0.49 = 1.632

终值

FV = 2 000·1.632 = €3 264.63

答案

FV = €3 264.63
26.货币的时间价值

答案: A = 229.1 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·9 = 108

存款额

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 30 000·0.0035/(1.458 − 1) = €229.06

答案

A = €229.06
27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4704 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 14 000/1.07 = 13 084.11
CF2/(1 + 0.07)2 = 23 000/1.145 = 20 089.09
CF3/(1 + 0.07)3 = 19 000/1.225 = 15 509.66
CF4/(1 + 0.07)4 = 21 000/1.311 = 16 020.80

相加

NPV = €4 703.66

答案

NPV = €4 703.66

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 19.52 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 818.61
NPV(20%) = −81.02

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·818.61/(818.61 − (−81.02)) = 19.55%
精确: NPV(19.52%) = 0 → IRR = 19.52%

答案

IRR = 19.52%
29.正态分布

答案: z = 1.84

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0329 = 0.9671

反向查 z 表

在表中找到 0.9671，读出 z。

z = 1.84

答案

z = 1.84
30.正态分布

答案: x = 59.8 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.3

由表得到的 z

z ≈ −0.52

回到原来的单位

x = 65 − 0.52·10 = 59.8 分

答案

x = 59.8 分

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 FE exam 由 NCEES 举办，该机构与 ExamProblems 无关，也不为其背书。

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil