FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 25 kN 位于 2.5 mP₂ = 55 kN 位于 3 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 2 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 4 mAD = 8 mP = 75 kN 位于 5 mQ = 10 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 12 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 8 mw = 4 kN/m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 4 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.02，e₀ = 1.2。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，先期固结压力为 220 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 30 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4 mC_c = 0.3C_r = 0.02e₀ = 1.2σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 220 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 8 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 3.5 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 19 mmt_lab = 8 minH = 3.5 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.5 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.5 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 10 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 10 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形未抹面混凝土渠道宽 5.5 m。水以 0.8 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5.5 my = 0.8 mn = 0.014S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 2.5 m 的矩形未抹面混凝土渠道须以 2.1 m 的水深均匀输送 7.1 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 7.1 m³/sb = 2.5 my = 2.1 mn = 0.014

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 28 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sH = 28 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 23 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €8 000g = 2%r = 5%

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0005.4% / 12N = 48

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在 4 年内每年年末回报 €21 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 500CF₂ = 21 500CF₃ = 21 500CF₄ = 21 500

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €9 500, €11 500, €6 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 11 500CF₃ = 6 500

MIRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0475。求 z，保留两位小数。

A = 0.0475

z =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 25%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 45.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2.5 + 55·3

R_B = 227.5/5 = 45.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 45.5 = 34.5 kN

答案

R_B = 45.5 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 245 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·4 = 75·1

R_D = 18.75 kN

V_C = 75 − 18.75 = 56.25 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 10 + 56.25 = 66.25 kN

M_A = 10·2 + 56.25·4 = 245 kN·m

答案

M_A = 245 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 101.7 kN (T), BC: 101.7 kN (T), CD: 91.67 kN (T), DE: 91.67 kN (T), FG: 143.3 kN (C), GH: 143.3 kN (C), AF: 127.1 kN (C), HE: 114.6 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 52.08 kN (T), HC: 64.58 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −35.4 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·1 − 20·2 → C_y = −1.667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − −1.667 = 31.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −31.67/0.8944 = −35.4 kN

答案

F_AB = −35.4 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 53.5 kN, R₂ = 53.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 47.5, M_C = 83, M_D = 106.5 kN·m, M_E = 83, M_F = 47.5, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 106.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 14 kN, R₂ = 16 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 28 kN·m, M_C = 16, M_D = 4, M_E = −8, M_F = −20, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = 28 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 10.64 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 10.64 mm

答案

δ_max = 10.64 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 12 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

答案

R_B = 12 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 140.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·1500 = 750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/750² = 140368 N = 140.4 kN

答案

P_cr = 140.4 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 1.919 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa

答案

σ_cr = 1.919 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 217.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 1963·210)/(30000 − 1963) = 145.8 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·4.202² = 225.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·64.2² = 8.4 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 217.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 217.1 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 15.34 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

腹板: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·275 + 4160·130)/7760 = 197.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·30³/12 + 3600·(275 − 197.3)² = 2.202 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·260³/12 + 4160·(130 − 197.3)² = 4.226 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.202 × 10⁷ + 4.226 × 10⁷ = 6.428 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 197.3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·197.3/6.428 × 10⁷ = 15.34 MPa

答案

σ_底部 = 15.34 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 39.24 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答案

u = 39.24 kPa

15.固结沉降

答案: S = 4.143 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 100 + 30 = 130 kPa ≤ 220 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·4/(1 + 1.2)·log₁₀(130/100) = 4.143 mm

答案

S = 4.143 mm

16.固结沉降

答案: t = 754.1 天

排水路径

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 3.5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 8·(3.5/0.0095)² = 1.086 × 10⁶ min

t_field = 1.086 × 10⁶/1440 = 754.1 天

答案

t = 754.1 天

17.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.481 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.25·5 = 97.12 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 2.604/(2.25·5) = 2.481 m

答案

y_cp = 2.481 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 135 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.075)·1.5²/(2·9.81) = 13.76 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·13.76 = 135000 Pa = 135 kPa

答案

Δp = 135 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 128.3 L/s

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.25 = 16

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

10 = (16 + 12.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·10/28.7) = 2.615 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.615·0.04909 = 0.1283 m³/s = 128.3 L/s

答案

Q = 128.3 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 7.224 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 5.5·0.8 = 4.4 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·0.8 = 7.1 m

R = A/P = 0.6197 m

速度

V = (1/0.014)·0.6197^2/3·0.001^1/2 = 1.642 m/s

流量

Q = A·V = 4.4·1.642 = 7.224 m³/s

答案

Q = 7.224 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0004962 m/m

几何参数

A = b·y = 2.5·2.1 = 5.25 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·2.1 = 6.7 m

R = A/P = 0.7836 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·7.1/(5.25·0.8499) = 0.02228

S = 0.02228² = 0.0004962

答案

S = 0.0004962

即每千米下降 0.4962 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 21.97 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·28 = 16.48 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 16.48/0.75 = 21.97 kW

答案

P_shaft = 21.97 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 36.16 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (35.2 + 8)·0.3046 = 13.16 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 23 + 13.16 = 36.16 m

答案

H = 36.16 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 266667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0.05 − 0.02) = 8 000/0.03 = €266 666.67

答案

PV = €266 666.67

26.货币的时间价值

答案: A = 580.3 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8061

A = 25 000·0.0045/(1 − 0.8061) = €580.27

答案

A = €580.27

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.612 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 21 500/1.12 = 19 196.43 → Σ = 19 196.43

年份 2: 21 500/1.254 = 17 139.67 → Σ = 36 336.10

年份 3: 21 500/1.405 = 15 303.28 → Σ = 51 639.37

年份 4: 21 500/1.574 = 13 663.64 → Σ = 65 303.01

最后一年的分数

DPB = 3 + 8 360.63/13 663.64 = 3.612

答案

DPB = 3.612 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.791 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 15.29 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 500·1.1² = 11 495.00

11 500·1.1¹ = 12 650.00

6 500·1.1⁰ = 6 500.00

TV = 30 645.00

MIRR

MIRR = (30 645.00/20 000)^1/3 − 1 = 15.29%

答案

MIRR = 15.29%

29.正态分布

答案: z = 1.67

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0475 = 0.9525

反向查 z 表

在表中找到 0.9525，读出 z。

z = 1.67

答案

z = 1.67

30.正态分布

答案: x = 89.88 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 分

答案

x = 89.88 分

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