梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 10 kN/m 减小到 B 处的零。 求竖向支座反力 RB。
L = 5 mw0 = 10 kN/m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 4 mP = 55 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 30 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 5 kN →
FAC = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 4 m25 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 7.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 2.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 15 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 120 mm，外高 H = 200 mm，壁厚均为 t = 8 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
B = 120 mmH = 200 mmt = 8 mm
r = mm
12.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。
bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 260 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 7 m 的超固结黏土，Cc = 0.45，Cr = 0.06，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，先期固结压力为 180 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 260 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 7 mCc = 0.45Cr = 0.06e0 = 0.9σ′0 = 70 kPaσ′p = 180 kPaΔσ = 260 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 4 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 3 m 的土层。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 20 mmtlab = 4 minH = 3 m现场：双面排水
t = 天
17.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 10 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 10 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 300 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形清洁土渠渠道底宽 3.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.3 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 3.5 my = 1.3 mz = 2n = 0.022S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 600 mmn = 0.013V = 1.2 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 80 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 43.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 40 L/sH = 80 mPshaft = 43.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8
H = m
25.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 4%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €5 000g = 2%r = 4%
PV = €
26.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €5 000，共 29 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 29 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €5 000i = 5%n = 29
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000，使用 6 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €50 000M = €1 500n = 6r = 12%
EAC = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €15 000, €14 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 14 000CF3 = 14 500
IRR = %
29.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.3 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.3 mm
P =
30.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 8.333 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1.667
RB = 8.333 kN
RA = 25 − 8.333 = 16.67 kN
答案
RB = 8.333 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 16.88 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·3 + 5·1·1.5
RB = 172.5/4 = 43.13 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 43.13 = 16.88 kN
答案
RA = 16.88 kN
3.桁架：节点法
答案: FBC = −21.63 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 12 = 18 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0.5547 = −21.63 kN
答案
FBC = −21.63 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FAC = 7.083 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 + 5·2 → Cy = 14.17 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 14.17 = 0.8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −14.17/0.8944 = −15.84 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15.84)·0.4472 = 7.083 kN
答案
FAC = 7.083 kN (受拉)
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 30.83 kN, R2 = 24.17 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 30.83, MC = 36.67, MD = 42.5, ME = 48.33 kN·m, MF = 24.17, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 48.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 23.73 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·7.5 = 45 kN，作用于 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·7.5·3.75
RB = 168.8/6 = 28.13 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28.13 = 16.88 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 16.88/6 = 2.813 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 16.88²/(2·6) = 23.73 kN·m
答案
Mmax = 23.73 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 36.99 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 36.99 mm
答案
δmax = 36.99 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 207.1 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·5000⁴/(384·11000·20) = 9.248 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·9.248 × 10⁷/125)1/3 = 207.1 mm
答案
hreq = 207.1 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 14.28 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3000² = 14279 N = 14.28 kN
答案
Pcr = 14.28 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 36.92 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 36.92 mm
答案
d = 36.92 mm
校核：长细比 KL/r 为 216.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: r = 73.13 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
b = 104 mm, h = 184 mm
A = BH − bh = 120·200 − 104·184 = 4864 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.601 × 10⁷ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(2.601 × 10⁷/4864) = 73.13 mm
答案
r = 73.13 mm
12.形心和惯性矩
答案: Mallow = 15.74 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (1400·265 + 2080·130)/3480 = 184.3 mm
上边缘: c = 270 − 184.3 = 85.69 mm
惯性矩
I = 140·10³/12 + 1400·80.69² + 8·260³/12 + 2080·54.31² = 2.698 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
负弯矩：上侧受拉，下侧受压。
上边缘: M = 50·2.698 × 10⁷/85.69 = 15.74 kN·m
下边缘: M = 120·2.698 × 10⁷/184.3 = 17.57 kN·m
控制值
Mallow = min = 15.74 kN·m (上边缘)
答案
Mallow = 15.74 kN·m
13.土中有效应力
答案: σ′ = 89.76 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·3 + 19.5·4 = 129 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 129 − 39.24 = 89.76 kPa
答案
σ′ = 89.76 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 89.95 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·3 + γsat,sand·1 + γsat,clay·4
σ = 16·3 + 19·1 + 18·4 = 139 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 139 − 49.05 = 89.95 kPa
答案
σ′ = 89.95 kPa
15.固结沉降
答案: S = 527.1 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 70 + 260 = 330 kPa > 180 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.06·7/(1 + 0.9)·log₁₀(180/70) + 0.45·7/(1 + 0.9)·log₁₀(330/180)
S = 90.67 + 436.4 = 527.1 mm
答案
S = 527.1 mm
16.固结沉降
答案: t = 62.5 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m
Hdr,field = 3/2 = 1.5 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 4·(1.5/0.01)² = 90000 min
tfield = 90000/1440 = 62.5 天
答案
t = 62.5 天
17.静水压力
答案: F = 198.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·4.5 = 198.7 kN
答案
F = 198.7 kN
18.静水压力
答案: ycp = 4.519 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.5 + 0.25/(4.5·3) = 4.519 m
答案
ycp = 4.519 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 87.05 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.01/0.004418 = 2.264 m/s
速度水头
V²/(2g) = 2.264²/(2·9.81) = 0.2611 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(1000/0.075)·2.264²/(2·9.81) = 87.05 m
答案
hf = 87.05 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 3.922 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
损失系数
f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 22 + 3.7)·0.1469 = 3.922 m
答案
H = 3.922 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 7.24 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·1.3)·1.3 = 7.93 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.3·√(1 + 2²) = 9.314 m
R = A/P = 0.8514 m
速度
V = (1/0.022)·0.85142/3·0.00051/2 = 0.913 m/s
流量
Q = A·V = 7.93·0.913 = 7.24 m³/s
答案
Q = 7.24 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003053 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1.2/0.2823)² = 0.003053
答案
S = 0.003053
即每千米下降 3.053 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 72 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·80 = 31.39 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 31.39/43.6 = 72%
答案
η = 72%
24.水泵与泵功率
答案: H = 15.87 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.2 + 8)·0.1354 = 2.87 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 13 + 2.87 = 15.87 m
答案
H = 15.87 m
25.货币的时间价值
答案: PV = 250000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 5 000/(0.04 − 0.02) = 5 000/0.02 = €250 000.00
答案
PV = €250 000.00
26.货币的时间价值
答案: FV = 327194 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.05)29 − 1)/0.05 = 62.32
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 5 000·62.32·1.05 = €327 194.24
答案
FV = €327 194.24
27.NPV 与 IRR
答案: EAC = 13661 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.12−6)/0.12 = 4.111
年化购置价格
50 000/4.111 = 12 161.29
EAC
EAC = 12 161.29 + 1 500 = €13 661.29
答案
EAC = €13 661.29
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 34.05 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 1 422.39
NPV(35%) = −313.72
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·1 422.39/(1 422.39 − (−313.72)) = 34.1%
精确: NPV(34.05%) = 0 → IRR = 34.05%
答案
IRR = 34.05%
29.正态分布
答案: P = 0.2743
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (200.3 − 200)/0.5 = 0.6
上尾
P = 1 − Φ(0.6) = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
30.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
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