FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 30 kN 位于 1 mP₂ = 10 kN 位于 7 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 55 kN 位于 5 mw = 8 kN/m，从 6 到 7 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 10 kN ↓G: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 10 kN →

F_BC = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 4 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m35 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 84 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mm孔心: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 160 × 16 mm，腹板高 320 mm、厚 14 mm，下翼缘为 280 × 14 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 160 × 16 mm腹板: 14 × 320 mm下翼缘: 280 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 12 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9.5 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.05，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 95 kPa ，超固结比 OCR = 3。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 80 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7 mC_c = 0.5C_r = 0.05e₀ = 0.85σ′₀ = 95 kPaOCR = 3Δσ = 80 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 3 m 的黏土，固结系数 c_v = 5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 3 mc_v = 5 m²/年份U = 90%T_v = 0.848双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 3 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 3 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 300 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 80 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 2.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 2 mz = 3n = 0.014S = 0.0008

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3.5 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道须以 1.7 m 的水深均匀输送 14 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 14 m³/sb = 3.5 my = 1.7 mz = 1.5n = 0.025

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 22 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 70%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 22 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 22 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 24%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 24%m = 2

EAR = %

26.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 29 年，第一笔今天存入。账户年利率为 8%。第 29 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 8%n = 29

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€30 000, €19 000, €17 000, €27 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 30 000CF₂ = 19 000CF₃ = 17 000CF₄ = 27 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €7 000, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 500

IRR = %

29.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 166.8 和 192 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 166.8x₂ = 192

P =

30.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 30 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 10·7

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 10 = 30 kN

答案

R_A = 30 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 30.3 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 8·1·6.5

R_B = 327/10 = 32.7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 32.7 = 30.3 kN

答案

R_A = 30.3 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 11.25 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 11.25 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 18.75 kN (C), HE: 25 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 18.75 kN (C), DG: 12.5 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_BC = −27.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 + 10·2 → C_y = 8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8.75 = 16.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/6.325 = 0.3162, cos γ = 6/6.325 = 0.9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8.75/0.3162 = −27.67 kN

答案

F_BC = −27.67 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 25 kN, R₂ = 40 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 50, M_D = 65, M_E = 80 kN·m, M_F = 40, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 80 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 3.75 kN, R₂ = 41.25 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −32.5, M_D = −45, M_E = −57.5, M_F = −70 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −70 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 3.444 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 3.444 mm

答案

δ = 3.444 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·6000⁴/(384·200000·16.67) = 2.531 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 115.1 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/2500² = 115145 N = 115.1 kN

答案

P_cr = 115.1 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 49.35 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7.5 = 200

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σ_cr = 49.35 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 135.2 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 1963·84)/(28800 − 1963) = 122.6 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·−2.634² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−38.63² = 3.237 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 135.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 135.2 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 215.3 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 2560 mm², y = 342 mm

腹板: A = 4480 mm², y = 174 mm

下翼缘: A = 3920 mm², y = 7 mm

形心

ȳ = (2560·342 + 4480·174 + 3920·7)/10960 = 153.5 mm

平行移轴定理

上翼缘: 160·16³/12 + 2560·188.5² = 9.101 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·320³/12 + 4480·20.49² = 4.011 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 280·14³/12 + 3920·146.5² = 8.421 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.101 × 10⁷ + 4.011 × 10⁷ + 8.421 × 10⁷

I_x = 2.153 × 10⁸ mm⁴ = 215.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 215.3 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ = 216 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·2 + 18.5·10 = 216 kPa

答案

σ = 216 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 118.9 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16·5 + 20·1 + 18·3.5 = 163 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 163 − 44.15 = 118.9 kPa

答案

σ′ = 118.9 kPa

15.固结沉降

答案: S = 50.19 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·95 = 285 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 95 + 80 = 175 kPa ≤ 285 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·7/(1 + 0.85)·log₁₀(175/95) = 50.19 mm

答案

S = 50.19 mm

16.固结沉降

答案: t = 0.3816 年

排水路径

H_dr = H/2 = 3/2 = 1.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·1.5²/5 = 0.3816 年

答案

t = 0.3816 年

17.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.818 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·4.5 = 124.4 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.8438/(2.75·4.5) = 2.818 m

答案

y_cp = 2.818 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 504 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.25)·3²/(2·9.81) = 51.38 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·51.38 = 504000 Pa = 504 kPa

答案

Δp = 504 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 8.891 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.2 = 22.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 22.5 + 3.4)·0.3305 = 8.891 m

答案

H = 8.891 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 37.09 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 3·2)·2 = 17 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·2·√(1 + 3²) = 15.15 m

R = A/P = 1.122 m

速度

V = (1/0.014)·1.122^2/3·0.0008^1/2 = 2.182 m/s

流量

Q = A·V = 17·2.182 = 37.09 m³/s

答案

Q = 37.09 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001061 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.7)·1.7 = 10.29 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.7·√(1 + 1.5²) = 9.629 m

R = A/P = 1.068 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·14/(10.29·1.045) = 0.03257

S = 0.03257² = 0.001061

答案

S = 0.001061

即每千米下降 1.061 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 3.351 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·22 = 2.158 kW

轴功率

P_shaft = 2.158/0.7 = 3.083 kW

电功率

P_el = 3.083/0.92 = 3.351 kW

答案

P_el = 3.351 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 33.91 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0.2905 = 11.91 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 22 + 11.91 = 33.91 m

答案

H = 33.91 m

25.货币的时间价值

答案: EAR = 25.44 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.24/2 = 0.12

复利一年

EAR = (1 + 0.12)² − 1 = 1.254 − 1 = 25.44%

答案

EAR = 25.44%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

26.货币的时间价值

答案: FV = 561416 €

普通年金系数

((1 + 0.08)²⁹ − 1)/0.08 = 104

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·104·1.08 = €561 416.06

答案

FV = €561 416.06

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3808 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 30 000/1.12 = 26 785.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 19 000/1.254 = 15 146.68

CF₃/(1 + 0.12)³ = 17 000/1.405 = 12 100.26

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 27 000/1.574 = 17 158.99

相加

NPV = €−3 808.35

答案

NPV = €−3 808.35

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 36.32 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 186.46

NPV(40%) = −488.34

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·186.46/(186.46 − (−488.34)) = 36.38%

精确: NPV(36.32%) = 0 → IRR = 36.32%

答案

IRR = 36.32%

29.正态分布

答案: P = 0.9225

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

中间面积

P = Φ(2) − Φ(−1.6) = 0.9772 − 0.0548 = 0.9225

答案

P = 0.9225

30.正态分布

答案: x = 246.7 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 250 − 0.67·5 = 246.7 g

答案

x = 246.7 g

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