FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 55 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 10 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 50 kN 位于 10 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓G: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓D: 30 kN ↓F: 20 kN →G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mw = 24 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 h_req。

w = 2.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mm孔心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 40 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mm切口: 40 × 30 mm孔心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 7.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 8 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.05，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 50 kPa ，先期固结压力为 140 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 70 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 8 mC_c = 0.3C_r = 0.05e₀ = 0.85σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 70 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 2 m 的黏土，固结系数 c_v = 2.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 2 mc_v = 2.5 m²/年份U = 50%T_v = 0.197双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.1 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.1 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 200 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 900 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 900 mmn = 0.013S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 2.5 m 的矩形植草土渠渠道须以 1.6 m 的水深均匀输送 6.7 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 6.7 m³/sb = 2.5 my = 1.6 mn = 0.03

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 42 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 8.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 15 L/sH = 42 mP_shaft = 8.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 14 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 5%n = 14

PV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 7.2% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €500。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €5007.2% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€5 000, €8 000, €9 000, €5 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000CF₄ = 5 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €24 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €24 000n = 5

IRR = %

29.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 226.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9< 226.5 kg

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分95%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 66.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 50·5

R_B = 305/8 = 38.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 38.13 = 66.88 kN

答案

R_A = 66.88 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 700 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·6.667 + 50·10 = 700 kN·m

答案

M_A = 700 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 16.25 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 33.75 kN (T), FG: 16.25 kN (C), GH: 33.75 kN (C), AF: 22.98 kN (C), HE: 47.73 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 33.75 kN (T), BG: 22.98 kN (C), DG: 1.768 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 70 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 70.71 kN (C), HE: 84.85 kN (C), BF: 50 kN (T), CG: 0, DH: 50 kN (T), BG: 14.14 kN (C), DG: 28.28 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 11.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·2.5 − 6·2.5·1.25 = 11.25 kN·m

答案

M_x = 11.25 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 211.7 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·6 = 144 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·6·3

R_B = 432/10 = 43.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 144 − 43.2 = 100.8 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 100.8/24 = 4.2 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 100.8·4.2 − 24·4.2²/2 = 211.7 kN·m

答案

M_max = 211.7 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01278 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 15·3000³/(24·1.32 × 10¹²) = 0.01278 rad

答案

θ_A = 0.01278 rad

即 0.7325°。

8.梁的挠度

答案: h_req = 198 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·4500⁴/(384·11000·15) = 8.09 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·8.09 × 10⁷/125)^1/3 = 198 mm

答案

h_req = 198 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 14.02 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14.02 kN

答案

P_cr = 14.02 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 17.77 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333.3

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa

答案

σ_cr = 17.77 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 227.3 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 1257·168)/(48000 − 1257) = 118.7 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·1.29² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49.29² = 3.179 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 227.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 227.3 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.46 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (22500·75 − 1200·97.5)/(22500 − 1200) = 73.73 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·1.268² = 42.22 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·30³/12 + 1200·23.77² = 0.7679 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 41.46 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.46 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ = 155 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 20.5·6 = 155 kPa

答案

σ = 155 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 135.8 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16·2 + 19.5·2 + 18.5·3.5 = 135.8 kPa

答案

σ = 135.8 kPa

15.固结沉降

答案: S = 82.21 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 50 + 70 = 120 kPa ≤ 140 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·8/(1 + 0.85)·log₁₀(120/50) = 82.21 mm

答案

S = 82.21 mm

16.固结沉降

答案: t = 0.0788 年

排水路径

H_dr = H/2 = 2/2 = 1 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·1²/2.5 = 0.0788 年

答案

t = 0.0788 年

17.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

18.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4.5 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 10.89 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.25)·1.1²/(2·9.81) = 1.11 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·1.11 = 10890 Pa = 10.89 kPa

答案

Δp = 10.89 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.146 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 13.33 + 6.7)·0.102 = 2.146 m

答案

H = 2.146 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.2862 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.3181 m², R = D/4 = 0.225 m

速度

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.001^1/2 = 0.8999 m/s

流量

Q = A·V = 0.3181·0.8999 = 0.2862 m³/s

答案

Q = 0.2862 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004049 m/m

几何参数

A = b·y = 2.5·1.6 = 4 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.6 = 5.7 m

R = A/P = 0.7018 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·6.7/(4·0.7897) = 0.06363

S = 0.06363² = 0.004049

答案

S = 0.004049

即每千米下降 4.049 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 75.37 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·42 = 6.18 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 6.18/8.2 = 75.37%

答案

η = 75.37%

24.水泵与泵功率

答案: H = 34.98 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0.2115 = 3.596 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 20.39 + 3.596 = 34.98 m

答案

H = 34.98 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 79189 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5051)/0.05 = 9.899

现值

PV = 8 000·9.899 = €79 189.13

答案

PV = €79 189.13

26.货币的时间价值

答案: N = 60 次还款

将年金公式变形

i = 0.006

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.006/500 = 0.7

用对数求解

N = −ln(0.7)/ln(1.006) = 59.62

向上取整到整次还款

59 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 60

答案

N = 60 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2822 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 5 000/1.07 = 4 672.90

CF₂/(1 + 0.07)² = 8 000/1.145 = 6 987.51

CF₃/(1 + 0.07)³ = 9 000/1.225 = 7 346.68

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 5 000/1.311 = 3 814.48

相加

NPV = €2 821.56

答案

NPV = €2 821.56

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.24 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 80 000/24 000 = 3.333

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 3.352

i = 16%: 3.274

IRR = 15.24%

答案

IRR = 15.24%

29.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 225 kg, σ_T = 0.5·√9 = 1.5 kg

标准化

z = (226.5 − 225)/1.5 = 1

概率

P = Φ(1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

30.正态分布

答案: x = 75.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 分

答案

x = 75.4 分

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