FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 10 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 3.5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 50 kN 位于 1 mw = 5 kN/m，从 3 到 4 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 35 kN

F_BC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓C: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 40 kN 位于 1.5 mP₂ = 35 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 8 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 45 kN 位于 8 mw = 8 kN/m，从 0 到 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 4 mP = 50 kN 位于 2 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mm切口: 30 × 50 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 12 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 8.5 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.04，e₀ = 1.15。其中点深度处的竖向有效应力为 80 kPa ，先期固结压力为 180 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 130 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7.5 mC_c = 0.5C_r = 0.04e₀ = 1.15σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 130 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 3 m 的黏土，固结系数 c_v = 4 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 60% 时，时间因数 T_v = 0.287。该土层需要多少年 t 才能达到 60% 固结度？

H = 3 mc_v = 4 m²/年份U = 60%T_v = 0.287双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.2 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 50 L/s？

Q = 50 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 1200 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 1200 mmn = 0.013S = 0.004

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 56 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 56 mη_pump = 60%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 31 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 31 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8

H = m

25.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €20 000。求 20 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 8%t = 20

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €25 0007.2% / 12N = 48

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€21 000, €20 000, €27 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 20 000CF₃ = 27 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €37 500, €35 000, €33 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 500CF₂ = 35 000CF₃ = 33 500

IRR = %

29.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 358.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9< 358.2 g

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 20%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 29.17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1 + 50·3.5

R_B = 185/6 = 30.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30.83 = 29.17 kN

答案

R_A = 29.17 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 41.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 5·1·3.5

R_B = 67.5/5 = 13.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 13.5 = 41.5 kN

答案

R_A = 41.5 kN

3.桁架：节点法

答案: F_BC = −31.55 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·6 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.25/0.8321 = −31.55 kN

答案

F_BC = −31.55 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 70.71 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 42.43 kN (T), HC: 14.14 kN (T)

答案

零杆: DH

5.剪力和弯矩

答案: M_max = 57.19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1.5 + 35·2.5

R_B = 147.5/4 = 36.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 36.88 = 38.13 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1.5 = 38.13·1.5 = 57.19 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 36.88·1.5 = 55.31 kN·m

最大值

M_max = 57.19 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 57.19 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 136 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·8 + 8·10·5

R_B = 760/10 = 76 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 76 = 49 kN

在 x = 8 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 49·8 − 8·8·4 = 136 kN·m

答案

M_x = 136 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.002284 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.002284 rad

答案

θ_A = 0.002284 rad

即 0.1309°。

8.梁的挠度

答案: R_B = 15.63 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

答案

R_B = 15.63 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 14.28 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 2·1500 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3000² = 14279 N = 14.28 kN

答案

P_cr = 14.28 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 49.35 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6.25 = 200

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σ_cr = 49.35 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 61.82 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

腹板: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·275 + 3640·130)/7840 = 207.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·30³/12 + 4200·(275 − 207.7)² = 1.935 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·260³/12 + 3640·(130 − 207.7)² = 4.247 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.935 × 10⁷ + 4.247 × 10⁷ = 6.182 × 10⁷ mm⁴ = 61.82 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 61.82 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 1500·144)/(24000 − 1500) = 118.4 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·1.6² = 115.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·50³/12 + 1500·25.6² = 1.296 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ = 230 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·4 + 20.5·8 = 230 kPa

答案

σ = 230 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 34.34 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3.5 = 34.34 kPa

答案

u = 34.34 kPa

15.固结沉降

答案: S = 165.9 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 80 + 130 = 210 kPa > 180 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·7.5/(1 + 1.15)·log₁₀(180/80) + 0.5·7.5/(1 + 1.15)·log₁₀(210/180)

S = 49.14 + 116.8 = 165.9 mm

答案

S = 165.9 mm

16.固结沉降

答案: t = 0.1614 年

排水路径

H_dr = H/2 = 3/2 = 1.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·1.5²/4 = 0.1614 年

答案

t = 0.1614 年

17.静水压力

答案: F = 19.62 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·1 = 19.62 kN

答案

F = 19.62 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 4.188 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·3 = 120.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2.25/(4·3) = 4.188 m

答案

y_cp = 4.188 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 27 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.2)·1.2²/(2·9.81) = 2.752 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·2.752 = 27000 Pa = 27 kPa

答案

Δp = 27 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 4.441 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

损失系数

f·L/D = 0.02·300/0.2 = 30

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 30·0.1291 = 3.873 m

h_m = 4.4·0.1291 = 0.5681 m

Δz = h_f + h_m = 4.441 m

答案

Δz = 4.441 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 2.466 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 1.131 m², R = D/4 = 0.3 m

速度

V = (1/0.013)·0.3^2/3·0.004^1/2 = 2.18 m/s

流量

Q = A·V = 1.131·2.18 = 2.466 m³/s

答案

Q = 2.466 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001718 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.2823)² = 0.001718

答案

S = 0.001718

即每千米下降 1.718 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 26.01 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·56 = 13.73 kW

轴功率

P_shaft = 13.73/0.6 = 22.89 kW

电功率

P_el = 22.89/0.88 = 26.01 kW

答案

P_el = 26.01 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 50.17 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.3305 = 19.17 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 31 + 19.17 = 50.17 m

答案

H = 50.17 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 99061 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·20 = 1.6

e^1.6 = 4.953

终值

FV = 20 000·4.953 = €99 060.65

答案

FV = €99 060.65

26.货币的时间价值

答案: I = 3847 €

月供

i = 0.006, N = 48

A = 25 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻⁴⁸) = €600.98

利息总额

I = N·A − P = 48·601 − 25 000 = €3 846.97

答案

I = €3 846.97

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4095 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 21 000/1.1 = 19 090.91

CF₂/(1 + 0.1)² = 20 000/1.21 = 16 528.93

CF₃/(1 + 0.1)³ = 27 000/1.331 = 20 285.50

相加

NPV = €−4 094.67

答案

NPV = €−4 094.67

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 50.85 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(50%) = 481.48

NPV(55%) = −2 242.29

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 50 + 5·481.48/(481.48 − (−2 242.29)) = 50.88%

精确: NPV(50.85%) = 0 → IRR = 50.85%

答案

IRR = 50.85%

29.正态分布

答案: P = 0.3085

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 360 g, σ_T = 1.2·√9 = 3.6 g

标准化

z = (358.2 − 360)/3.6 = −0.5

概率

P = Φ(−0.5) = 0.3085

答案

P = 0.3085

30.正态分布

答案: x = 87.38 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 分

答案

x = 87.38 分

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