梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 5 mP1 = 10 kN 位于 2.5 mP2 = 50 kN 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 8 mP = 30 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 4 到 7 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
C: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN →G: 40 kN ↓H: 20 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 15 kN 位于 9 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 5.5 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 26 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 220 mm，外高 H = 400 mm，壁厚均为 t = 20 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
B = 220 mmH = 400 mmt = 20 mm
r = mm
12.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 160 × 12 mm，腹板高 170 mm、厚 10 mm，下翼缘为 300 × 14 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 160 × 12 mm腹板: 10 × 170 mm下翼缘: 300 × 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 4 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 4 m 的超固结黏土，Cc = 0.5，Cr = 0.02，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 105 kPa ，先期固结压力为 225 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 160 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 4 mCc = 0.5Cr = 0.02e0 = 1.05σ′0 = 105 kPaσ′p = 225 kPaΔσ = 160 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 5 m 的黏土，固结系数 cv = 2 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 5 mcv = 2 m²/年份U = 90%Tv = 0.848单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 20 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 20 L/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 100 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形清洁土渠渠道底宽 3 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1.8 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 3 my = 1.8 mz = 1.5n = 0.022S = 0.001
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 450 mmn = 0.013V = 1 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 28 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 100 L/sH = 28 mηpump = 75%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 3
H = m
25.货币的时间价值中等
你以每年 2% 的利率连续复利投资 €2 000。求 7 年后的价值 FV。
PV = €2 000r = 2%t = 7
FV = €
26.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €2 000，共 6 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 6 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €2 000i = 4%n = 6
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €6 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €200 000CF1 = €6 000g = 4%r = 8%
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €12 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 18 500
IRR = %
29.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 34 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34 min
P =
30.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 5% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 35 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2.5 + 50·3
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 35 = 25 kN
答案
RB = 35 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 39.38 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN，作用于 x̄ = 5.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·5 + 10·3·5.5
RB = 315/8 = 39.38 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 39.38 = 20.63 kN
答案
RB = 39.38 kN
3.桁架：节点法
答案: FBC = −51.24 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·5 → Cy = 45.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 45.83 = 9.167 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45.83/0.8944 = −51.24 kN
答案
FBC = −51.24 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 81.25 kN (T), BC: 81.25 kN (T), CD: 93.75 kN (T), DE: 93.75 kN (T), FG: 127.5 kN (C), GH: 127.5 kN (C), AF: 57.81 kN (C), HE: 117.2 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 57.81 kN (T), HC: 42.19 kN (T)
答案
零杆: BF
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 20.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 18·1.5 − 6·1.5·0.75 = 20.25 kN·m
答案
Mx = 20.25 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 132 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 15·9 + 10·10·5
RB = 635/10 = 63.5 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 63.5 = 51.5 kN
在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 51.5·5.5 − 10·5.5·2.75 = 132 kN·m
答案
Mx = 132 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 1.661 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 1.661 mm
答案
δmax = 1.661 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 78.13 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 26000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 26000·5000³/(48·1.7 × 10¹²) = 39.83 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 38.3 mm
相加
δmax = 39.83 + 38.3 = 78.13 mm
答案
δmax = 78.13 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 241.7 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1050² = 241705 N = 241.7 kN
答案
Pcr = 241.7 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 53.77 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.77 mm
答案
d = 53.77 mm
校核：长细比 KL/r 为 223.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: r = 142.9 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
b = 180 mm, h = 360 mm
A = BH − bh = 220·400 − 180·360 = 23200 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4.735 × 10⁸ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(4.735 × 10⁸/23200) = 142.9 mm
答案
r = 142.9 mm
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 49.9 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 1920 mm², y = 190 mm
腹板: A = 1700 mm², y = 99 mm
下翼缘: A = 4200 mm², y = 7 mm
形心
ȳ = (1920·190 + 1700·99 + 4200·7)/7820 = 71.93 mm
平行移轴定理
上翼缘: 160·12³/12 + 1920·118.1² = 2.679 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·170³/12 + 1700·27.07² = 5.34 × 10⁶ mm⁴
下翼缘: 300·14³/12 + 4200·64.93² = 1.778 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.679 × 10⁷ + 5.34 × 10⁶ + 1.778 × 10⁷
Ix = 4.99 × 10⁷ mm⁴ = 49.9 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 49.9 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ′ = 54.19 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·3 + 19·1 = 64 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·1 = 9.81 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 64 − 9.81 = 54.19 kPa
答案
σ′ = 54.19 kPa
14.土中有效应力
答案: u = 49.05 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
答案
u = 49.05 kPa
15.固结沉降
答案: S = 82.25 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 105 + 160 = 265 kPa > 225 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.02·4/(1 + 1.05)·log₁₀(225/105) + 0.5·4/(1 + 1.05)·log₁₀(265/225)
S = 12.92 + 69.33 = 82.25 mm
答案
S = 82.25 mm
16.固结沉降
答案: t = 10.6 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·5²/2 = 10.6 年
答案
t = 10.6 年
17.静水压力
答案: F = 39.24 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN
答案
F = 39.24 kN
18.静水压力
答案: ycp = 1.4 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.25·1.5 = 23.18 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.2813/(1.25·1.5) = 1.4 m
答案
ycp = 1.4 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.7746 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.02/0.03142 = 0.6366 m/s
速度水头
V²/(2g) = 0.6366²/(2·9.81) = 0.02066 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.2)·0.6366²/(2·9.81) = 0.7746 m
答案
hf = 0.7746 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 1.398 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m
损失系数
f·L/D = 0.018·100/0.3 = 6
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 6 + 6.7)·0.102 = 1.398 m
答案
H = 1.398 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 15.54 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1.8)·1.8 = 10.26 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.8·√(1 + 1.5²) = 9.49 m
R = A/P = 1.081 m
速度
V = (1/0.022)·1.0812/3·0.0011/2 = 1.514 m/s
流量
Q = A·V = 10.26·1.514 = 15.54 m³/s
答案
Q = 15.54 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003112 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1/0.233)² = 0.003112
答案
S = 0.003112
即每千米下降 3.112 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 38.55 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·28 = 27.47 kW
轴功率
Pshaft = 27.47/0.75 = 36.62 kW
电功率
Pel = 36.62/0.95 = 38.55 kW
答案
Pel = 38.55 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 17.2 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 3)·0.408 = 10.2 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 7 + 10.2 = 17.2 m
答案
H = 17.2 m
25.货币的时间价值
答案: FV = 2301 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.02·7 = 0.14
e0.14 = 1.15
终值
FV = 2 000·1.15 = €2 300.55
答案
FV = €2 300.55
26.货币的时间价值
答案: FV = 13797 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.04)6 − 1)/0.04 = 6.633
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 2 000·6.633·1.04 = €13 796.59
答案
FV = €13 796.59
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = −50000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 6 000/(0.08 − 0.04) = 150 000.00
NPV
NPV = 150 000.00 − 200 000 = −€50 000.00
答案
NPV = −€50 000.00
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 13.31 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(10%) = 1 198.35
NPV(15%) = −576.56
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 10 + 5·1 198.35/(1 198.35 − (−576.56)) = 13.38%
精确: NPV(13.31%) = 0 → IRR = 13.31%
答案
IRR = 13.31%
29.正态分布
答案: P = 0.2119
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (34 − 32)/2.5 = 0.8
上尾
P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119
答案
P = 0.2119
30.正态分布
答案: x = 189.5 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 178 + 1.64·7 = 189.5 cm
答案
x = 189.5 cm
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