梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 4 mP1 = 60 kN 位于 2 mP2 = 45 kN 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 4 mP = 30 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 1 到 2 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 40 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 10 kN →
FAC = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 4 m10 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 12 m20 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 4 mP = 25 kN 位于 2 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 160 mmM = 40 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 5 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³黏土: γsat = 17 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 5 m 的超固结黏土，Cc = 0.3，Cr = 0.03，e₀ = 0.95。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，先期固结压力为 140 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 130 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 5 mCc = 0.3Cr = 0.03e0 = 0.95σ′0 = 40 kPaσ′p = 140 kPaΔσ = 130 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 10 m 的黏土，固结系数 cv = 0.5 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 60% 时，时间因数 Tv = 0.287。该土层需要多少年 t 才能达到 60% 固结度？
H = 10 mcv = 0.5 m²/年份U = 60%Tv = 0.287单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 40 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 40 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 200 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形砖砌渠道底宽 3.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.9 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 3.5 my = 1.9 mz = 1n = 0.015S = 0.001
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 250 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 26 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 20 L/sH = 26 mPshaft = 6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 33 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 120 L/sΔz = 33 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 3.5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €6 000g = 1.5%r = 3.5%
PV = €
26.货币的时间价值困难
你以每年 3.6% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €875。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €20 000A = €8753.6% / 12
N = 次还款
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €30 000，在 6 年内每年年末回报 €10 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 10 500CF2 = 10 500CF3 = 10 500CF4 = 10 500CF5 = 10 500CF6 = 10 500
DPB = 年
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 500, €18 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 17 500CF2 = 18 000CF3 = 18 500
IRR = %
29.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9668。求 z，保留两位小数。
A = 0.9668
z =
30.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 40% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分40%
x = 分
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 63.75 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 60·2 + 45·3
RB = 255/4 = 63.75 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 63.75 = 41.25 kN
答案
RB = 63.75 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 8.25 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 2·1·1.5
RB = 33/4 = 8.25 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 8.25 = 23.75 kN
答案
RB = 8.25 kN
3.桁架：节点法
答案: FAC = 17.78 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 → Cy = 13.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13.33 = 26.67 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.33/0.6 = −22.22 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22.22)·0.8 = 17.78 kN
答案
FAC = 17.78 kN (受拉)
4.桁架：节点法
答案: FAC = 20.78 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 + 10·4 → Cy = 11.88 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11.88 = 43.13 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.88/0.4961 = −23.93 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23.93)·0.8682 = 20.78 kN
答案
FAC = 20.78 kN (受拉)
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 23.33 kN, R2 = 36.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 23.33, MC = 46.67, MD = 60, ME = 73.33 kN·m, MF = 36.67, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 73.33 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 7.5 kN, R2 = 27.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 15, MC = −10, MD = −35, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −60 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 4.36 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 4.36 mm
答案
δ = 4.36 mm
8.梁的挠度
答案: RB = 7.813 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN
答案
RB = 7.813 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.118 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/3000² = 5118 N = 5.118 kN
答案
Pcr = 5.118 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 6.94 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/15 = 533.3
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa
答案
σcr = 6.94 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72.13 mm
完整的板关于 ȳ
150·150³/12 + 22500·2.868² = 42.37 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·32.87² = 2.428 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 92.98 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm
腹板: Aw = 12·160 = 1920 mm², yw = 160/2 = 80 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·167.5 + 1920·80)/6420 = 141.3 mm
平行移轴定理
翼缘: 300·15³/12 + 4500·(167.5 − 141.3)² = 3.166 × 10⁶ mm⁴
腹板: 12·160³/12 + 1920·(80 − 141.3)² = 1.132 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.166 × 10⁶ + 1.132 × 10⁷ = 1.448 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 175 − 141.3 = 33.67 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·33.67/1.448 × 10⁷ = 92.98 MPa
答案
σ顶部 = 92.98 MPa
13.土中有效应力
答案: σ′ = 69.69 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·4 + 19.5·1 = 79.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·1 = 9.81 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 79.5 − 9.81 = 69.69 kPa
答案
σ′ = 69.69 kPa
14.土中有效应力
答案: u = 39.24 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
答案
u = 39.24 kPa
15.固结沉降
答案: S = 106.7 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 40 + 130 = 170 kPa > 140 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.03·5/(1 + 0.95)·log₁₀(140/40) + 0.3·5/(1 + 0.95)·log₁₀(170/140)
S = 41.85 + 64.86 = 106.7 mm
答案
S = 106.7 mm
16.固结沉降
答案: t = 57.4 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 10 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.287·10²/0.5 = 57.4 年
答案
t = 57.4 年
17.静水压力
答案: F = 117.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN
答案
F = 117.7 kN
18.静水压力
答案: F = 77.25 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·4.5 = 77.25 kN
答案
F = 77.25 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.8263 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.273²/(2·9.81) = 0.08263 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.2)·1.273²/(2·9.81) = 0.8263 m
答案
hf = 0.8263 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 3.824 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
损失系数
f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 13.33 + 11.7)·0.1469 = 3.824 m
答案
H = 3.824 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 23.83 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·1.9)·1.9 = 10.26 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.9·√(1 + 1²) = 8.874 m
R = A/P = 1.156 m
速度
V = (1/0.015)·1.1562/3·0.0011/2 = 2.322 m/s
流量
Q = A·V = 10.26·2.322 = 23.83 m³/s
答案
Q = 23.83 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003833 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1575)² = 0.003833
答案
S = 0.003833
即每千米下降 3.833 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 85.02 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·26 = 5.101 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 5.101/6 = 85.02%
答案
η = 85.02%
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 57.87 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 8)·0.3046 = 7.31 m
泵扬程
H = Δz + hL = 33 + 7.31 = 40.31 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·40.31/0.82 = 57.87 kW
答案
Pshaft = 57.87 kW
25.货币的时间价值
答案: PV = 300000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 6 000/(0.035 − 0.015) = 6 000/0.02 = €300 000.00
答案
PV = €300 000.00
26.货币的时间价值
答案: N = 24 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.003
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0.003/875 = 0.9314
用对数求解
N = −ln(0.9314)/ln(1.003) = 23.71
向上取整到整次还款
23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 24
答案
N = 24 次还款
27.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.716 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 10 500/1.12 = 9 375.00 → Σ = 9 375.00
年份 2: 10 500/1.254 = 8 370.54 → Σ = 17 745.54
年份 3: 10 500/1.405 = 7 473.69 → Σ = 25 219.23
年份 4: 10 500/1.574 = 6 672.94 → Σ = 31 892.17
最后一年的分数
DPB = 3 + 4 780.77/6 672.94 = 3.716
答案
DPB = 3.716 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 3.912 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(0%) = 4 000.00
NPV(5%) = −1 025.81
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 0 + 5·4 000.00/(4 000.00 − (−1 025.81)) = 3.979%
精确: NPV(3.912%) = 0 → IRR = 3.912%
答案
IRR = 3.912%
29.正态分布
答案: z = 2.13
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9668)/2 = 0.9834
反向查 z 表
在表中找到 0.9834，读出 z。
z = 2.13
答案
z = 2.13
30.正态分布
答案: x = 96.3 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 100 − 0.25·15 = 96.3 分
答案
x = 96.3 分
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