梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 25 kN 位于 2 mP2 = 30 kN 位于 8 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 10 mP = 50 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 7 到 9 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 10 kN →
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m50 kN @ 3 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mw = 6 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 100 mmM = 15 kN·m
σ底部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 9 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 2.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.05，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 50 kPa ，先期固结压力为 150 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 190 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 2.5 mCc = 0.25Cr = 0.05e0 = 1.05σ′0 = 50 kPaσ′p = 150 kPaΔσ = 190 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 7 m 的黏土，固结系数 cv = 1.2 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 70% 时，时间因数 Tv = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？
H = 7 mcv = 1.2 m²/年份U = 70%Tv = 0.403双面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 75 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 75 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条矩形砾石渠道宽 2.5 m。水以 2.3 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 2.5 my = 2.3 mn = 0.025S = 0.0015
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 1 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道 须以 1.5 m 的水深均匀输送 4.6 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 4.6 m³/sb = 1 my = 1.5 mz = 1.5n = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台效率为 85% 的水泵以 54 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sH = 54 mη = 85%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 100 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 5ptank = 100 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
你以名义年利率 5% 投资 €1 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。
PV = €1 0005% / 4n = 3
FV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €250 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 5 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €250 0006% / 12N = 300k = 60
B = €
27.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€33 000, €37 000, €35 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。
r = 7.000000000000001%CF0 = −75 000CF1 = 33 000CF2 = 37 000CF3 = 35 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €33 000, €21 500, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 33 000CF2 = 21 500CF3 = 18 500
IRR = %
29.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 30.8 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 30.8 min
P =
30.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 48.33 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2 + 30·8
RB = 290/6 = 48.33 kN
竖向平衡
RA = 25 + 30 − 48.33 = 6.667 kN
答案
RB = 48.33 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 26 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·2 + 10·2·8
RB = 260/10 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 26 = 44 kN
答案
RB = 26 kN
3.桁架：节点法
答案: FBC = −13.42 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·3 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 12 = 8 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0.8944 = −13.42 kN
答案
FBC = −13.42 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FAB = −42.43 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 + 10·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 20 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.7071 = −42.43 kN
答案
FAB = −42.43 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 37.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·2.5 − 12·2.5·1.25 = 37.5 kN·m
答案
Mx = 37.5 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 1 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 73.33 kN, R2 = 41.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −26.67, MD = −3.333, ME = −30, MF = −15, MG = 0
答案
标记点 B: MB = −50 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 3.545 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 3.545 mm
答案
δmax = 3.545 mm
8.梁的挠度
答案: RB = 11.25 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11.25 kN
答案
RB = 11.25 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.922 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4.922 kN
答案
Pcr = 4.922 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 24.48 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/6.25 = 168
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24.48 MPa
答案
σcr = 24.48 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 5.43 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
腹板: Aw = 8·120 = 960 mm², yw = 120/2 = 60 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·132.5 + 960·60)/4960 = 118.5 mm
平行移轴定理
翼缘: 160·25³/12 + 4000·(132.5 − 118.5)² = 995950 mm⁴
腹板: 8·120³/12 + 960·(60 − 118.5)² = 4.434 × 10⁶ mm⁴
Ix = 995950 + 4.434 × 10⁶ = 5.43 × 10⁶ mm⁴ = 5.43 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 5.43 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 281.3 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 100 + 25/2 = 112.5 mm
腹板: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·112.5 + 1400·50)/3900 = 90.06 mm
平行移轴定理
翼缘: 100·25³/12 + 2500·(112.5 − 90.06)² = 1.389 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·100³/12 + 1400·(50 − 90.06)² = 3.414 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.389 × 10⁶ + 3.414 × 10⁶ = 4.802 × 10⁶ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 90.06 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·90.06/4.802 × 10⁶ = 281.3 MPa
答案
σ底部 = 281.3 MPa
13.土中有效应力
答案: σ′ = 54.26 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·1 + 19.5·4 = 93.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 93.5 − 39.24 = 54.26 kPa
答案
σ′ = 54.26 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 91.02 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·1 + γsat,sand·4 + γsat,clay·4
σ = 15.5·1 + 19.5·4 + 19·4 = 169.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·8 = 78.48 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 169.5 − 78.48 = 91.02 kPa
答案
σ′ = 91.02 kPa
15.固结沉降
答案: S = 91.32 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 50 + 190 = 240 kPa > 150 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.05·2.5/(1 + 1.05)·log₁₀(150/50) + 0.25·2.5/(1 + 1.05)·log₁₀(240/150)
S = 29.09 + 62.23 = 91.32 mm
答案
S = 91.32 mm
16.固结沉降
答案: t = 4.114 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H/2 = 7/2 = 3.5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.403·3.5²/1.2 = 4.114 年
答案
t = 4.114 年
17.静水压力
答案: F = 80.93 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3 = 80.93 kN
答案
F = 80.93 kN
18.静水压力
答案: ycp = 2.333 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.25·2.25 = 43.7 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 0.4219/(2.25·2.25) = 2.333 m
答案
ycp = 2.333 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 2.869 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.061²/(2·9.81) = 0.05738 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(500/0.3)·1.061²/(2·9.81) = 2.869 m
答案
hf = 2.869 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 2.659 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
损失系数
f·L/D = 0.022·150/0.3 = 11
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 11 + 6.1)·0.1469 = 2.659 m
答案
H = 2.659 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 7.74 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 2.5·2.3 = 5.75 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·2.3 = 7.1 m
R = A/P = 0.8099 m
速度
V = (1/0.025)·0.80992/3·0.00151/2 = 1.346 m/s
流量
Q = A·V = 5.75·1.346 = 7.74 m³/s
答案
Q = 7.74 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0008013 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·1.5)·1.5 = 4.875 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.5·√(1 + 1.5²) = 6.408 m
R = A/P = 0.7607 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·4.6/(4.875·0.8333) = 0.02831
S = 0.02831² = 0.0008013
答案
S = 0.0008013
即每千米下降 0.8013 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 24.93 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·54 = 21.19 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 21.19/0.85 = 24.93 kW
答案
Pshaft = 24.93 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 31.39 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0.408 = 10.2 m
压力水头
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 10.19 + 10.2 = 31.39 m
答案
H = 31.39 m
25.货币的时间价值
答案: FV = 1161 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.05/4 = 0.0125
N = m·n = 4·3 = 12
终值
FV = 1 000·(1 + 0.0125)12 = 1 000·1.161 = €1 160.75
答案
FV = €1 160.75
26.货币的时间价值
答案: B = 224830 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.005, N = 300
A = 250 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−300) = €1 610.75
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 300 − 60 = 240
B = 1611·(1 − (1 + 0.005)−240)/0.005 = €224 830.22
答案
B = €224 830.22
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 16729 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 33 000/1.07 = 30 841.12
CF2/(1 + 0.07)2 = 37 000/1.145 = 32 317.23
CF3/(1 + 0.07)3 = 35 000/1.225 = 28 570.43
相加
NPV = €16 728.78
答案
NPV = €16 728.78
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 24.45 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 3 136.57
NPV(25%) = −368.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·3 136.57/(3 136.57 − (−368.00)) = 24.47%
精确: NPV(24.45%) = 0 → IRR = 24.45%
答案
IRR = 24.45%
29.正态分布
答案: P = 0.6844
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (30.8 − 32)/2.5 = −0.48
上尾
P = 1 − Φ(−0.48) = 1 − 0.3156 = 0.6844
答案
P = 0.6844
30.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
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