FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 8 mP = 50 kN 位于 4 mM = 60 kN·m (逆时针) 位于 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 60 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 3 到 5 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 10 kN →G: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 1 到 3 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 3 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 3 kNa = 3 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 150 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 11 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 8.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.05，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 85 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 90 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7.5 mC_c = 0.4C_r = 0.05e₀ = 0.9σ′₀ = 85 kPaOCR = 2Δσ = 90 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 8.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 1.2 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 70% 时，时间因数 T_v = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？

H = 8.5 mc_v = 1.2 m²/年份U = 70%T_v = 0.403单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.1 m/s 的平均流速流过一根长 50 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.1 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 23 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 23 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 750 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 250 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 42 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 80%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 42 mη_pump = 80%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €2 000。求 9 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 5%t = 9

FV = €

26.货币的时间价值困难

你在 23 年内每月月末存入 €50。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €503% / 12N = 276

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €7 500, €6 500, €8 000, €5 500, €8 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 6 500CF₃ = 8 000CF₄ = 5 500CF₅ = 8 500

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €13 500，之后每年增长 3%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €13 500g = 3%n = 6r = 12%

NPV = €

29.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62.5 和 77 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 77

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分25%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 32.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·8 − 50·4 + 60 = 0

R_B = 140/8 = 17.5 kN

竖向平衡

R_A = 50 − 17.5 = 32.5 kN

答案

R_A = 32.5 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: R_B = 22 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 5·2·4

R_B = 220/10 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 22 = 48 kN

答案

R_B = 22 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 63.33 kN (T), DE: 63.33 kN (T), FG: 86.67 kN (C), GH: 86.67 kN (C), AF: 87.5 kN (C), HE: 79.17 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 20.83 kN (T), HC: 29.17 kN (T)

答案

零杆: BF

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 15 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 10 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 10 kN (C), AF: 7.071 kN (C), HE: 14.14 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 7.071 kN (C), DG: 14.14 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 82.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 48·5.5 − 12·5.5·2.75 = 82.5 kN·m

答案

M_x = 82.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·2·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 6/6 = 2 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 6·2 − 6·1²/2 = 9 kN·m

答案

M_max = 9 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_P = 77.01 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·3000²·2000²/(3·9.35 × 10¹⁰·5000) = 77.01 mm

答案

δ_P = 77.01 mm

8.梁的挠度

答案: h_req = 273.5 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·24) = 1.278 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·1.278 × 10⁸/75)^1/3 = 273.5 mm

答案

h_req = 273.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 107.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2800² = 107424 N = 107.4 kN

答案

P_cr = 107.4 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 131.3 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 131.3 mm

答案

d = 131.3 mm

校核：长细比 KL/r 为 243.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 40.79 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 1963·52.5)/(22500 − 1963) = 77.15 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·−2.151² = 42.29 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−24.65² = 1.5 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 40.79 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 40.79 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 3.819 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (4200·107.5 + 1800·50)/6000 = 90.25 mm

上边缘: c = 115 − 90.25 = 24.75 mm

惯性矩

I = 280·15³/12 + 4200·17.25² + 18·100³/12 + 1800·40.25² = 5.745 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 150·5.745 × 10⁶/24.75 = 34.82 kN·m

下边缘: M = 60·5.745 × 10⁶/90.25 = 3.819 kN·m

控制值

M_allow = min = 3.819 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 3.819 kN·m

13.土中有效应力

答案: σ = 210.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·1 + 19.5·10 = 210.5 kPa

答案

σ = 210.5 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 53.96 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

答案

u = 53.96 kPa

15.固结沉降

答案: S = 79.29 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·85 = 170 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 85 + 90 = 175 kPa > 170 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·7.5/(1 + 0.9)·log₁₀(170/85) + 0.4·7.5/(1 + 0.9)·log₁₀(175/170)

S = 59.41 + 19.88 = 79.29 mm

答案

S = 79.29 mm

16.固结沉降

答案: t = 24.26 年

排水路径

H_dr = H = 8.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·8.5²/1.2 = 24.26 年

答案

t = 24.26 年

17.静水压力

答案: F = 137.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答案

F = 137.3 kN

18.静水压力

答案: F = 169.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·7.5 = 169.7 kN

答案

F = 169.7 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.405 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(50/0.2)·2.1²/(2·9.81) = 1.405 m

答案

h_f = 1.405 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 28.12 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.1 = 22.5

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

23 = (22.5 + 12.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·23/35.2) = 3.58 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.58·0.007854 = 0.02812 m³/s = 28.12 L/s

答案

Q = 28.12 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.2489 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.4418 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.1875^2/3·0.0005^1/2 = 0.5635 m/s

流量

Q = A·V = 0.4418·0.5635 = 0.2489 m³/s

答案

Q = 0.2489 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.002453 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.1575)² = 0.002453

答案

S = 0.002453

即每千米下降 2.453 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 57.22 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·42 = 41.2 kW

轴功率

P_shaft = 41.2/0.8 = 51.5 kW

电功率

P_el = 51.5/0.9 = 57.22 kW

答案

P_el = 57.22 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 35.68 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.408 = 9.385 m

压力水头

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 15.29 + 9.385 = 35.68 m

答案

H = 35.68 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 3137 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·9 = 0.45

e^0.45 = 1.568

终值

FV = 2 000·1.568 = €3 136.62

答案

FV = €3 136.62

26.货币的时间价值

答案: FV = 19840 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·23 = 276

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.992 − 1)/0.0025 = €19 839.99

答案

FV = €19 839.99

你自己存入了 €13 800；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.097 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 7 500/1.06 = 7 075.47 → Σ = 7 075.47

年份 2: 6 500/1.124 = 5 784.98 → Σ = 12 860.45

年份 3: 8 000/1.191 = 6 716.95 → Σ = 19 577.40

年份 4: 5 500/1.262 = 4 356.52 → Σ = 23 933.92

最后一年的分数

DPB = 3 + 422.60/4 356.52 = 3.097

答案

DPB = 3.097 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.75 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −20742 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.03)/(1.12))⁶ = 0.6049

PV = 13 500/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.6049) = 59 258.39

NPV

NPV = 59 258.39 − 80 000 = −€20 741.61

答案

NPV = −€20 741.61

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.4836

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (77 − 65)/10 = 1.2

中间面积

P = Φ(1.2) − Φ(−0.25) = 0.8849 − 0.4013 = 0.4836

答案

P = 0.4836

30.正态分布

答案: x = 110.1 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 100 + 0.67·15 = 110.1 分

答案

x = 110.1 分

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