FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 8 mP1 = 20 kN 位于 5 mP2 = 50 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?3 m5 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 10 mP = 35 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 8 到 9 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN8 m1 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
ABBCACACB50 kN30 kN5 m2 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 30 kN →
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
M0​ = 40 kN·mAB1.5 m2.5 m

简支梁在距 A 为 x = 1.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 40 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mM0 = 40 kN·m 顺时针，作用于 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 3 kN/mP = 40 kNAB3.5 m2.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 6 mP = 40 kN 位于 3.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
7.梁的挠度中等
P = 21 kNABδ4.5 m3.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 4.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 21 kNa = 4.5 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 5 kN/mP = 12 kNδL = 4 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 4 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 5 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 5 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
1801518010x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
200 mm150 mm45 mm30 × 40xIx​ = ?

一块 200 mm × 150 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 45 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 200 mmh = 150 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³13 m地下水位Xz = 5 m

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
u = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³5 m黏土γsat​ = 19 kN/m³6 m地下水位Xz = 8 m

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 8 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 100 kPa砂黏土Cc​ = 0.25, Cr​ = 0.03e0​ = 0.6σ′0​ = 100 kPaOCR = 25 m地下水位

一层厚 5 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.03，e₀ = 0.6。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，超固结比 OCR = 2。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 100 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5 mCc = 0.25Cr = 0.03e0 = 0.6σ′0 = 100 kPaOCR = 2Δσ = 100 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 10 m10 m不透水岩层地下水位

在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 15 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 10 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

hlab = 20 mmtlab = 15 minH = 10 m现场：单面排水
t = 天
17.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 3 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
Q = 4 L/sD = 75 mmL = 300 mf = 0.025

水以 4 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 4 L/sL = 300 mD = 75 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 0.2Δz = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0.0184× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 60 L/s？

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
D = 450 mmn = 0.013, S = 0.002

一根内径 450 mm 的混凝土雨水管半满流。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 450 mmn = 0.013S = 0.002
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
D = 300 mmn = 0.013, V = 0.75 m/s

一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 10 L/sH = 80 m

在一次试验中，水泵以 80 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 13.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 10 L/sH = 80 mPshaft = 13.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
PQ = 20 L/sΔz = 6 mL = 300 m, D = 100 mm, f = 0.015, ΣK = 4

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m
25.货币的时间价值中等
年0123…15€5 000FV = ?

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €5 000。求 15 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 5%t = 15
FV = €
26.货币的时间价值困难
月0123…360€500€500€500FV = ?

你在 30 年内每月月末存入 €500。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5003% / 12N = 360
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
年01234−60 00027 00019 00021 00025 000

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€27 000, €19 000, €21 000, €25 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF0 = −60 000CF1 = 27 000CF2 = 19 000CF3 = 21 000CF4 = 25 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
年0123−10 0007 0006 5004 500

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 000, €6 500, €4 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 500CF3 = 4 500
IRR = %
29.正态分布中等
−3−2−10123zz 右侧的阴影面积 = 0.9474

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9474。求 z，保留两位小数。

A = 0.9474
z =
30.正态分布困难
μ = 65x = ?97.5%

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 50 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​5 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 50·6
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 50 = 20 kN

答案

RB = 50 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 15.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​RB​3 m5 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 8.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·3 + 6·1·8.5
RB = 156/10 = 15.6 kN
ΣFy = 0: RA = 41 − 15.6 = 25.4 kN

答案

RB = 15.6 kN
3.桁架：节点法

答案: FAC = 2.188 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·1 → Cy = 1.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 1.25 = 8.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1.25/0.4961 = −2.519 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−2.519)·0.8682 = 2.188 kN

答案

FAC = 2.188 kN (受拉)
4.桁架：节点法

答案: FBC = −55 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 + 30·4 → Cy = 44 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 44 = 6 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −44/0.8 = −55 kN

答案

FBC = −55 kN (受压)
5.剪力和弯矩

答案: Mx = −15 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (向上)
RA = −RB = −10 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −10·1.5 = −15 kN·m

答案

Mx = −15 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mmax = 71.46 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·3.5 + 3·6·3
RB = 194/6 = 32.33 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 32.33 = 25.67 kN

V = 0 在哪里？

V(3.5⁻) = RA − w·3.5 = 15.17 kN
V(3.5⁺) = 15.17 − 40 = −24.83 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

Mmax = RA·3.5 − w·3.5²/2 = 25.67·3.5 − 3·3.5²/2 = 71.46 kN·m

答案

Mmax = 71.46 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.5 m 处。

7.梁的挠度

答案: δP = 9.044 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 21000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·4500²·3500²/(3·2.4 × 10¹³·8000) = 9.044 mm

答案

δP = 9.044 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 18.56 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 12000·4000³/(48·1.76 × 10¹²) = 9.091 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 9.47 mm

相加

δmax = 9.091 + 9.47 = 18.56 mm

答案

δmax = 18.56 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 6.867 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6.867 kN

答案

Pcr = 6.867 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 27.46 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 27.46 mm

答案

d = 27.46 mm

校核：长细比 KL/r 为 305.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: Ix = 15.18 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
腹板: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2700·187.5 + 1800·90)/4500 = 148.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(187.5 − 148.5)² = 4.157 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·180³/12 + 1800·(90 − 148.5)² = 1.102 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.157 × 10⁶ + 1.102 × 10⁷ = 1.518 × 10⁷ mm⁴ = 15.18 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 15.18 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: Ix = 54.97 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·75 − 1200·45)/(30000 − 1200) = 76.25 mm

完整的板关于 ȳ

200·150³/12 + 30000·−1.25² = 56.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·−31.25² = 1.332 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 54.97 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 54.97 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa
14.土中有效应力

答案: u = 39.24 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答案

u = 39.24 kPa
15.固结沉降

答案: S = 28.22 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′p = OCR·σ′0 = 2·100 = 200 kPa

与先期固结压力比较

σ′f = 100 + 100 = 200 kPa ≤ 200 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.03·5/(1 + 0.6)·log₁₀(200/100) = 28.22 mm

答案

S = 28.22 mm
16.固结沉降

答案: t = 10417 天

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m
Hdr,field = 10 m

换算时间

t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。

tfield = 15·(10/0.01)² = 1.5 × 10⁷ min
tfield = 1.5 × 10⁷/1440 = 10417 天

答案

t = 10417 天
17.静水压力

答案: F = 98.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

答案

F = 98.1 kN
18.静水压力

答案: ycp = 3.25 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
闸门d = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3·3 = 77.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 2.25/(3·3) = 3.25 m

答案

ycp = 3.25 m
19.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 4.178 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.004/0.004418 = 0.9054 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.9054²/(2·9.81) = 0.04178 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.075)·0.9054²/(2·9.81) = 4.178 m

答案

hf = 4.178 m
20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 15.81 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s
V²/(2g) = 0.5876 m

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.15 = 24
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

总水头损失

hf = 24·0.5876 = 14.1 m
hm = 2.9·0.5876 = 1.704 m
Δz = hf + hm = 15.81 m

答案

Δz = 15.81 m
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.06375 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.07952 m², R = D/4 = 0.1125 m

速度

V = (1/0.013)·0.11252/3·0.0021/2 = 0.8017 m/s

流量

Q = A·V = 0.07952·0.8017 = 0.06375 m³/s

答案

Q = 0.06375 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003006 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

水力半径

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1778)² = 0.003006

答案

S = 0.003006

即每千米下降 3.006 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 59.91 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·80 = 7.848 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 7.848/13.1 = 59.91%

答案

η = 59.91%
24.水泵与泵功率

答案: H = 22.19 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 4)·0.3305 = 16.19 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 6 + 16.19 = 22.19 m

答案

H = 22.19 m
25.货币的时间价值

答案: FV = 10585 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·15 = 0.75
e0.75 = 2.117

终值

FV = 5 000·2.117 = €10 585.00

答案

FV = €10 585.00
26.货币的时间价值

答案: FV = 291368 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·30 = 360

存款的终值

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(2.457 − 1)/0.0025 = €291 368.44

答案

FV = €291 368.44

你自己存入了 €180 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 16336 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 27 000/1.08 = 25 000.00
CF2/(1 + 0.08)2 = 19 000/1.166 = 16 289.44
CF3/(1 + 0.08)3 = 21 000/1.26 = 16 670.48
CF4/(1 + 0.08)4 = 25 000/1.36 = 18 375.75

相加

NPV = €16 335.66

答案

NPV = €16 335.66

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 39.63 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 580.70
NPV(40%) = −43.73

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·580.70/(580.70 − (−43.73)) = 39.65%
精确: NPV(39.63%) = 0 → IRR = 39.63%

答案

IRR = 39.63%
29.正态分布

答案: z = −1.62

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9474 = 0.0526

反向查 z 表

在表中找到 0.0526，读出 z。

z = −1.62

答案

z = −1.62
30.正态分布

答案: x = 84.6 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分

答案

x = 84.6 分

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