FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 4 kN/mP = 75 kNABRA​ = ?1 m7 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 4 kN/m 减小到 B 处的零。 距 A 为 1 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。

L = 8 mw0 = 4 kN/mP = 75 kN 位于 1 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 60 kN, 45°Q = 15 kNABRA​ = ?5 m4 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 9 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 45°；距 A 为 5 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。

L = 10 mP = 60 kN 位于 9 m, θ = 45°Q = 15 kN 位于 5 m
RA = kN
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN8 m5 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 45 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN5 kN8 m1 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 5 kN →
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
w = 10 kN/mP = 10 kNAB1 m1.5 m

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2.5 mP = 10 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mP = 35 kNAB截面1.5 m5.5 m1 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 35 kN 位于 7 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
P = 13 kNABδ1 m4 m

简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 13 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 2 kN/mP = 17 kNδL = 4 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 17 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 2 m30 × 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 6 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
2603016016x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
3001512020xM = 10 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 120 mmM = 10 kN·m
σ底部 = MPa
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³12 m地下水位Xz = 3 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 3 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³3 m黏土γsat​ = 19 kN/m³4 m地下水位Xz = 5 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 210 kPa砂黏土Cc​ = 0.5, Cr​ = 0.04e0​ = 0.6σ′0​ = 70 kPaσ′p​ = 160 kPa3.5 m地下水位

一层厚 3.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.5，Cr = 0.04，e₀ = 0.6。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，先期固结压力为 160 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 210 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3.5 mCc = 0.5Cr = 0.04e0 = 0.6σ′0 = 70 kPaσ′p = 160 kPaΔσ = 210 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 7 m7 m不透水岩层地下水位

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 6 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 7 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

hlab = 19 mmtlab = 6 minH = 7 m现场：单面排水
t = 天
17.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 3 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
Q = 60 L/sD = 200 mmL = 800 mf = 0.025

水以 60 L/s 的流量流过一根长 800 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 60 L/sL = 800 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 300 mm, f = 0.022× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 120 L/s？

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
b = 3 my = 0.8 m1 : 1n = 0.03, S = 0.003

一条梯形植草土渠渠道底宽 3 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 0.8 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 0.8 mz = 1n = 0.03S = 0.003
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
b = 3 my = 0.7 m1 : 1n = 0.022, Q = 2.9 m³/s

一条底宽 3 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形清洁土渠渠道 须以 0.7 m 的水深均匀输送 2.9 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 2.9 m³/sb = 3 my = 0.7 mz = 1n = 0.022
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 20 L/sH = 10 m

在一次试验中，水泵以 10 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 2.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 10 mPshaft = 2.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
350 kPa (表压)PQ = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 6

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 12 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 350 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
年01234PV = ?€1 000€1 000€1 000€1 000

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 4 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 8%n = 4
PV = €
26.货币的时间价值困难
月0123…36€15 000A?AAA

一笔 €15 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0004.2% / 12N = 36
A = €
27.NPV 与 IRR中等
年0123−60 00026 00018 00027 000

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€26 000, €18 000, €27 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 26 000CF2 = 18 000CF3 = 27 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
年0123−10 0004 0006 5007 000

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €6 500, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 6 500CF3 = 7 000
IRR = %
29.正态分布中等
160 g163.6 gT = X₁ + … + X₄?

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 4 个的总质量低于 163.6 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 4< 163.6 g
P =
30.正态分布困难
μ = 65x = ?99%

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 99%
x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 76.29 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 16·2.667 + 75·1
RB = 14.71 kN
RA = 91 − 14.71 = 76.29 kN

答案

RA = 76.29 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 44.02 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 60·sin 45° = 42.43 kN
Ph = 60·cos 45° = 42.43 kN

反力

ΣMA = 0: RB·10 = 42.43·9 + 15·5 → RB = 45.68 kN
Ay = 42.43 + 15 − 45.68 = 11.74 kN
Ax = Ph = 42.43 kN

A 处的合力

RA = √(42.43² + 11.74²) = 44.02 kN

答案

RA = 44.02 kN
3.桁架：节点法

答案: FAC = 28.12 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 → Cy = 28.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 28.13 = 16.88 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −28.13/0.7071 = −39.77 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−39.77)·0.7071 = 28.12 kN

答案

FAC = 28.12 kN (受拉)
4.桁架：节点法

答案: FAB = −28.99 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 + 5·4 → Cy = 6.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 6.875 = 28.13 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −28.13/0.9701 = −28.99 kN

答案

FAB = −28.99 kN (受压)
5.剪力和弯矩

答案: MA = −41.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −10·1 = −10 kN·m
w: −10·2.5²/2 = −31.25 kN·m
MA = −10 − 31.25 = −41.25 kN·m

答案

MA = −41.25 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

6.剪力和弯矩

答案: Mx = 55.31 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·7 + 10·8·4
RB = 565/8 = 70.63 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 70.63 = 44.38 kN
w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​ = 44.38RB​ = 70.63截面1.5 m5.5 m1 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 44.38·1.5 − 10·1.5·0.75 = 55.31 kN·m

答案

Mx = 55.31 kN·m
7.梁的挠度

答案: δP = 54.81 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 13000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·1000²·4000²/(3·2.53 × 10¹¹·5000) = 54.81 mm

答案

δP = 54.81 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 16.67 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 17000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 17000·4000³/(48·1.76 × 10¹²) = 12.88 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 3.788 mm

相加

δmax = 12.88 + 3.788 = 16.67 mm

答案

δmax = 16.67 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 77.72 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1000² = 77723 N = 77.72 kN

答案

Pcr = 77.72 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 21.93 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

答案

σcr = 21.93 MPa
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 23.44 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
腹板: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·175 + 2560·80)/10360 = 151.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·30³/12 + 7800·(175 − 151.5)² = 4.883 × 10⁶ mm⁴
腹板: 16·160³/12 + 2560·(80 − 151.5)² = 1.856 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.883 × 10⁶ + 1.856 × 10⁷ = 2.344 × 10⁷ mm⁴ = 23.44 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 23.44 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σ底部 = 103 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
腹板: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·127.5 + 2400·60)/6900 = 104 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·15³/12 + 4500·(127.5 − 104)² = 2.565 × 10⁶ mm⁴
腹板: 20·120³/12 + 2400·(60 − 104)² = 7.531 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.565 × 10⁶ + 7.531 × 10⁶ = 1.01 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 104 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·104/1.01 × 10⁷ = 103 MPa

答案

σ底部 = 103 MPa
13.土中有效应力

答案: σ′ = 33.88 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·1 + 19·2 = 53.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 53.5 − 19.62 = 33.88 kPa

答案

σ′ = 33.88 kPa
14.土中有效应力

答案: σ = 94.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·1 + γsat,sand·2 + γsat,clay·2
σ = 15.5·1 + 20.5·2 + 19·2 = 94.5 kPa

答案

σ = 94.5 kPa
15.固结沉降

答案: S = 297.2 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′f = 70 + 210 = 280 kPa > 160 kPa

沉降

σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·3.5/(1 + 0.6)·log₁₀(160/70) + 0.5·3.5/(1 + 0.6)·log₁₀(280/160)
S = 31.41 + 265.8 = 297.2 mm

答案

S = 297.2 mm
16.固结沉降

答案: t = 2262 天

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 7 m

换算时间

t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。

tfield = 6·(7/0.0095)² = 3.258 × 10⁶ min
tfield = 3.258 × 10⁶/1440 = 2262 天

答案

t = 2262 天
17.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN
18.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 3 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN
19.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 18.59 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.2)·1.91²/(2·9.81) = 18.59 m

答案

hf = 18.59 m
20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.001 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

总水头损失

hf = 13.33·0.1469 = 1.959 m
hm = 7.1·0.1469 = 1.043 m
Δz = hf + hm = 3.001 m

答案

Δz = 3.001 m
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 3.85 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·0.8)·0.8 = 3.04 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0.8·√(1 + 1²) = 5.263 m
R = A/P = 0.5776 m

速度

V = (1/0.03)·0.57762/3·0.0031/2 = 1.266 m/s

流量

Q = A·V = 3.04·1.266 = 3.85 m³/s

答案

Q = 3.85 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001451 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·0.7)·0.7 = 2.59 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0.7·√(1 + 1²) = 4.98 m
R = A/P = 0.5201 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·2.9/(2.59·0.6467) = 0.03809
S = 0.03809² = 0.001451

答案

S = 0.001451

即每千米下降 1.451 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 75.46 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·10 = 1.962 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 1.962/2.6 = 75.46%

答案

η = 75.46%
24.水泵与泵功率

答案: H = 55.11 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 6)·0.3305 = 7.436 m

压力水头

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 35.68 + 7.436 = 55.11 m

答案

H = 55.11 m
25.货币的时间价值

答案: PV = 3312 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.735)/0.08 = 3.312

现值

PV = 1 000·3.312 = €3 312.13

答案

PV = €3 312.13
26.货币的时间价值

答案: A = 444.2 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)−N = 0.8818
A = 15 000·0.0035/(1 − 0.8818) = €444.20

答案

A = €444.20
27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3218 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 26 000/1.06 = 24 528.30
CF2/(1 + 0.06)2 = 18 000/1.124 = 16 019.94
CF3/(1 + 0.06)3 = 27 000/1.191 = 22 669.72

相加

NPV = €3 217.96

答案

NPV = €3 217.96

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 30.7 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 109.24
NPV(35%) = −625.41

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·109.24/(109.24 − (−625.41)) = 30.74%
精确: NPV(30.7%) = 0 → IRR = 30.7%

答案

IRR = 30.7%
29.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μT = 160 g, σT = 1.2·√4 = 2.4 g

标准化

z = (163.6 − 160)/2.4 = 1.5

概率

P = Φ(1.5) = 0.9332

答案

P = 0.9332
30.正态分布

答案: x = 88.26 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 65 + 2.326·10 = 88.26 分

答案

x = 88.26 分

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