梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 30 kN 位于 5 mP2 = 30 kN 位于 10 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。 求滚动支座处的反力 RD。
AC = 4 mAD = 8 mP = 45 kN 位于 5 mw = 4 kN/m，从 4 到 8 m
RD = kN
3.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 10 kN ↓F: 15 kN ↓H: 30 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 15 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 0 m10 kN @ 12 m20 kN @ 6 m12 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 27 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 3 mw = 8 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 10 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 5 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 6.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 17.5 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 2.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.2，Cr = 0.03，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 80 kPa ，先期固结压力为 180 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 45 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 2.5 mCc = 0.2Cr = 0.03e0 = 0.85σ′0 = 80 kPaσ′p = 180 kPaΔσ = 45 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 3 m 的黏土，固结系数 cv = 2.5 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 80% 时，时间因数 Tv = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？
H = 3 mcv = 2.5 m²/年份U = 80%Tv = 0.567双面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 2.6 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2.6 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 200 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形植草土渠渠道底宽 5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 0.7 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 5 my = 0.7 mz = 2n = 0.03S = 0.001
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条宽 6 m 的矩形清洁土渠渠道 须以 2.2 m 的水深均匀输送 22 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 22 m³/sb = 6 my = 2.2 mn = 0.022
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 46 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 10 L/sH = 46 mηpump = 78%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 22 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8
H = m
25.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €8 000，共 14 年。年利率为 7%。求该年金的现值 PV。
A = €8 000i = 7%n = 14
PV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €25 0002.4% / 12N = 48
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €30 000，使用 6 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €30 000M = €1 000n = 6r = 10%
EAC = €
28.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €20 000, €24 000, €21 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 12%CF0 = −50 000CF1 = 20 000CF2 = 24 000CF3 = 21 000
MIRR = %
29.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.25 和 259 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242.25x2 = 259
P =
30.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 75 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 = 30·5 + 30·10
RB = 450/6 = 75 kN
竖向平衡
RA = 30 + 30 − 75 = −15 kN
答案
RB = 75 kN
RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。
2.梁的支座反力
答案: RD = 19.25 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 4·4 = 16 kN 位于 2 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·4 = 45·1 + 16·2
RD = 19.25 kN
VC = 61 − 19.25 = 41.75 kN
答案
RD = 19.25 kN
3.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 35 kN (T), BC: 36.67 kN (T), CD: 36.67 kN (T), DE: 38.33 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 38.33 kN (C), AF: 43.75 kN (C), HE: 47.92 kN (C), BF: 11.25 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (C), BG: 2.083 kN (C), DG: 2.083 kN (T)
答案
零杆: CG
4.桁架：节点法
答案: FAB = −15.77 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·2 − 15·3 → Cy = −3.125 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −3.125 = 13.13 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.13/0.8321 = −15.77 kN
答案
FAB = −15.77 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 56 kN, R2 = 56 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 100, MC = 176, MD = 228 kN·m, ME = 176, MF = 100, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 228 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 82.67 kN, R2 = 54.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −70 kN·m, MC = 1.333, MD = 24.67, ME = −40, MF = −20, MG = 0
答案
标记点 B: MB = −70 kN·m
7.梁的挠度
答案: δP = 28.78 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 27000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 27000·2500²·3500²/(3·3.99 × 10¹²·6000) = 28.78 mm
答案
δP = 28.78 mm
8.梁的挠度
答案: RB = 9 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN
答案
RB = 9 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 27.56 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·1500 = 750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27.56 kN
答案
Pcr = 27.56 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 1.974 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/10 = 1000
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1.974 MPa
答案
σcr = 1.974 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 27.44 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
腹板: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·190 + 2880·90)/8880 = 157.6 mm
平行移轴定理
翼缘: 300·20³/12 + 6000·(190 − 157.6)² = 6.511 × 10⁶ mm⁴
腹板: 16·180³/12 + 2880·(90 − 157.6)² = 2.092 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.511 × 10⁶ + 2.092 × 10⁷ = 2.744 × 10⁷ mm⁴ = 27.44 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 27.44 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 14.47 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
腹板: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·232.5 + 1760·110)/7760 = 204.7 mm
平行移轴定理
翼缘: 240·25³/12 + 6000·(232.5 − 204.7)² = 4.944 × 10⁶ mm⁴
腹板: 8·220³/12 + 1760·(110 − 204.7)² = 2.289 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.944 × 10⁶ + 2.289 × 10⁷ = 2.783 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 245 − 204.7 = 40.28 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·40.28/2.783 × 10⁷ = 14.47 MPa
答案
σ顶部 = 14.47 MPa
13.土中有效应力
答案: σ = 85.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·3 + 19.5·2 = 85.5 kPa
答案
σ = 85.5 kPa
14.土中有效应力
答案: u = 53.96 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa
答案
u = 53.96 kPa
15.固结沉降
答案: S = 7.858 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 80 + 45 = 125 kPa ≤ 180 kPa
沉降
黏土始终位于再压缩线上。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.03·2.5/(1 + 0.85)·log₁₀(125/80) = 7.858 mm
答案
S = 7.858 mm
16.固结沉降
答案: t = 0.5103 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H/2 = 3/2 = 1.5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.567·1.5²/2.5 = 0.5103 年
答案
t = 0.5103 年
17.静水压力
答案: F = 264.9 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·9 = 264.9 kN
答案
F = 264.9 kN
18.静水压力
答案: F = 44.15 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1.5 = 44.15 kN
答案
F = 44.15 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 103.4 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.1)·2.6²/(2·9.81) = 103.4 m
答案
hf = 103.4 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 6.896 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
损失系数
f·L/D = 0.025·150/0.3 = 12.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 12.5 + 3.4)·0.408 = 6.896 m
答案
H = 6.896 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 3.174 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·0.7)·0.7 = 4.48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0.7·√(1 + 2²) = 8.13 m
R = A/P = 0.551 m
速度
V = (1/0.03)·0.5512/3·0.0011/2 = 0.7085 m/s
流量
Q = A·V = 4.48·0.7085 = 3.174 m³/s
答案
Q = 3.174 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0009783 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 6·2.2 = 13.2 m²
P = b + 2y = 6 + 2·2.2 = 10.4 m
R = A/P = 1.269 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·22/(13.2·1.172) = 0.03128
S = 0.03128² = 0.0009783
答案
S = 0.0009783
即每千米下降 0.9783 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 6.155 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·46 = 4.513 kW
轴功率
Pshaft = 4.513/0.78 = 5.785 kW
电功率
Pel = 5.785/0.94 = 6.155 kW
答案
Pel = 6.155 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 31.25 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 8)·0.408 = 9.249 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 22 + 9.249 = 31.25 m
答案
H = 31.25 m
25.货币的时间价值
答案: PV = 69964 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.3878)/0.07 = 8.745
现值
PV = 8 000·8.745 = €69 963.74
答案
PV = €69 963.74
26.货币的时间价值
答案: A = 546.8 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·4 = 48
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.9086
A = 25 000·0.002/(1 − 0.9086) = €546.75
答案
A = €546.75
27.NPV 与 IRR
答案: EAC = 7888 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.1−6)/0.1 = 4.355
年化购置价格
30 000/4.355 = 6 888.22
EAC
EAC = 6 888.22 + 1 000 = €7 888.22
答案
EAC = €7 888.22
28.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 13.43 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
20 000·1.122 = 25 088.00
24 000·1.121 = 26 880.00
21 000·1.120 = 21 000.00
TV = 72 968.00
MIRR
MIRR = (72 968.00/50 000)1/3 − 1 = 13.43%
答案
MIRR = 13.43%
29.正态分布
答案: P = 0.9035
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242.25 − 250)/5 = −1.55
z₂ = (259 − 250)/5 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1.55) = 0.9641 − 0.06057 = 0.9035
答案
P = 0.9035
30.正态分布
答案: x = 174.4 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.3
由表得到的 z
z ≈ −0.52
回到原来的单位
x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm
答案
x = 174.4 cm
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