静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 2 m，流量系数为 0.65。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 25 mmh = 2 mCd = 0.65g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 140 kPa。喷嘴出口直径为 40 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。
d1 = 75 mmp1 = 140 kPa (表压)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.6 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.6 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 33 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 33 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 75% 的水泵以 44 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 15 L/sH = 44 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 157 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·4 = 157 kN
答案
F = 157 kN
2.静水压力
答案: ycp = 1.4 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.25·1.5 = 16.19 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.2813/(1.25·1.5) = 1.4 m
答案
ycp = 1.4 m
3.连续性和伯努利
答案: Q = 1.999 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.65·0.0004909·6.264 = 0.001999 m³/s = 1.999 L/s
答案
Q = 1.999 L/s
4.连续性和伯努利
答案: H = 15.53 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 40/75 = 0.5333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9191)) = 17.45 m/s
射流高度
沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。
H = v2²/(2g) = 17.45²/(2·9.81) = 15.53 m
答案
H = 15.53 m
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 14.87 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(50/0.25)·2.6²/(2·9.81) = 1.516 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.516 = 14872 Pa = 14.87 kPa
答案
Δp = 14.87 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 218.4 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.025·200/0.25 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
33 = (20 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·33/32.7) = 4.45 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.45·0.04909 = 0.2184 m³/s = 218.4 L/s
答案
Q = 218.4 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 8.633 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·44 = 6.475 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 6.475/0.75 = 8.633 kW
答案
Pshaft = 8.633 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 22.76 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 4)·0.3305 = 8.758 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 14 + 8.758 = 22.76 m
答案
H = 22.76 m
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