流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 310 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 80 kPa。喷嘴出口直径为 25 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 80 kPa (表压)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 80 L/s 的流量流过一根长 50 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 80 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 17 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 17 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 14 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 14 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.633 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·4 = 100.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 1.333/(2.5·4) = 2.633 m

答案

y_cp = 2.633 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 294.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(150/100)² = 6.188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−15.36) = 294.6 kPa

答案

p₂ = 294.6 kPa

4.连续性和伯努利

答案: H = 8.257 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0.9877)) = 12.73 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 12.73²/(2·9.81) = 8.257 m

答案

H = 8.257 m

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 0.2394 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(50/0.3)·1.132²/(2·9.81) = 0.2394 m

答案

h_f = 0.2394 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 196.1 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

17 = (13.2 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·17/20.9) = 3.995 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.995·0.04909 = 0.1961 m³/s = 196.1 L/s

答案

Q = 196.1 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 20.35 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·14 = 10.99 kW

轴功率

P_shaft = 10.99/0.6 = 18.31 kW

电功率

P_el = 18.31/0.9 = 20.35 kW

答案

P_el = 20.35 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 47.86 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0.3305 = 22.47 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 20.39 + 22.47 = 47.86 m

答案

H = 47.86 m

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