静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 390 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 390 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 110 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 110 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.1 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.1 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 30 L/s？
Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 54 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 82%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 15 L/sH = 54 mηpump = 82%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 206 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN
答案
F = 206 kN
2.静水压力
答案: ycp = 4.789 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4.75·4.5 = 184.5 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.8438/(4.75·4.5) = 4.789 m
答案
ycp = 4.789 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 385.7 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/75)² = 3.556 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 3.556²)/1000 = −4.321 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−4.321) = 385.7 kPa
答案
p2 = 385.7 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 99.68 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 110 + (−0.5078) − 9.81 = 99.68 kPa
答案
p2 = 99.68 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 211.7 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.075)·2.1²/(2·9.81) = 21.58 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·21.58 = 211680 Pa = 211.7 kPa
答案
Δp = 211.7 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 2.757 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
损失系数
f·L/D = 0.022·100/0.15 = 14.67
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
总水头损失
hf = 14.67·0.1469 = 2.154 m
hm = 4.1·0.1469 = 0.6023 m
Δz = hf + hm = 2.757 m
答案
Δz = 2.757 m
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 10.53 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·54 = 7.946 kW
轴功率
Pshaft = 7.946/0.82 = 9.69 kW
电功率
Pel = 9.69/0.92 = 10.53 kW
答案
Pel = 10.53 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 18.57 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0.3305 = 11.57 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 7 + 11.57 = 18.57 m
答案
H = 18.57 m
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