流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 310 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 30 kPa。水从水面以下 1 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 30 kPa (表压)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.9 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.9 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 200 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 12 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 12 mη_pump = 60%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 30 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·6 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

2.静水压力

答案: F = 394 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.25·7.5 = 394 kN

答案

F = 394 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 270 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−40) = 270 kPa

答案

p₂ = 270 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 8.923 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(30000/1000 + 9.81·1)) = 8.923 m/s

答案

v = 8.923 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 171.5 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.075)·2.9²/(2·9.81) = 171.5 m

答案

h_f = 171.5 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 7.615 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.25 = 17.6

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 17.6 + 6.4)·0.3046 = 7.615 m

答案

H = 7.615 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 6.398 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·12 = 3.532 kW

轴功率

P_shaft = 3.532/0.6 = 5.886 kW

电功率

P_el = 5.886/0.92 = 6.398 kW

答案

P_el = 6.398 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 52.61 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.33 + 6)·0.1469 = 2.84 m

压力水头

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 40.77 + 2.84 = 52.61 m

答案

H = 52.61 m

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