静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 310 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 310 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 390 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 390 kPav1 = 2.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 3 m/s 的平均流速流过一根长 50 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 3 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 300 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 13 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 13 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 24 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 15.7 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 40 L/sH = 24 mPshaft = 15.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 39 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 65%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 50 L/sΔz = 39 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 159.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·5 = 159.4 kN
答案
F = 159.4 kN
2.静水压力
答案: ycp = 2.042 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·2 = 49.44 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.1667/(2·2) = 2.042 m
答案
ycp = 2.042 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 309.4 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 310 + (−0.6076) = 309.4 kPa
答案
p2 = 309.4 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 315.8 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 390 + (−15.36) − 58.86 = 315.8 kPa
答案
p2 = 315.8 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 6.422 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(50/0.1)·3²/(2·9.81) = 6.422 m
答案
hf = 6.422 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 96.74 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.015·300/0.2 = 22.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
13 = (22.5 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·13/26.9) = 3.079 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.079·0.03142 = 0.09674 m³/s = 96.74 L/s
答案
Q = 96.74 L/s
7.水泵与泵功率
答案: η = 59.98 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·24 = 9.418 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 9.418/15.7 = 59.98%
答案
η = 59.98%
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 39.28 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.408 = 13.06 m
泵扬程
H = Δz + hL = 39 + 13.06 = 52.06 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·52.06/0.65 = 39.28 kW
答案
Pshaft = 39.28 kW
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