流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 36 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 150 mm。窄段的压强为 210 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 36 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 210 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 50 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 260 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 260 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.5 m/s 的平均流速流过一根长 500 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.5 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 26 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 20.4 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 60 L/sH = 26 mP_shaft = 20.4 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 37 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 78%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 37 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4·4 = 138.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1.333/(4·4) = 4.083 m

答案

y_cp = 4.083 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 211.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.036/0.03142 = 1.146 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.036/0.01767 = 2.037 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 210 + ½·1000·(2.037² − 1.146²)/1000 = 210 + 1.418 = 211.4 kPa

答案

p₁ = 211.4 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 240.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−10) − 9.81 = 240.2 kPa

答案

p₂ = 240.2 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 11.47 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.5²/(2·9.81) = 0.1147 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(500/0.1)·1.5²/(2·9.81) = 11.47 m

答案

h_f = 11.47 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 7.683 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 18.75 + 6.7)·0.2905 = 7.683 m

答案

H = 7.683 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 75.02 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·26 = 15.3 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 15.3/20.4 = 75.02%

答案

η = 75.02%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 48.87 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0.3305 = 11.57 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 37 + 11.57 = 48.57 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·48.57/0.78 = 48.87 kW

答案

P_shaft = 48.87 kW

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