流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 3 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 50 mm, Cd​ = 0.64h = 3 m

水从一个大型敞口水箱经直径 50 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 3 m，流量系数为 0.64。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 50 mmh = 3 mCd = 0.64g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 270 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 10 m。截面 1 处压强为 270 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 270 kPav1 = 3 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.5 m/sD = 75 mmL = 50 mf = 0.02

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.5 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.5 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10自由出流H = ?L = 100 m, D = 100 mm, f = 0.0253× 弯头 (K = 0.3)

一根长 100 m、内径 100 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 12 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 30 L/sH = 26 m

一台效率为 60% 的水泵以 26 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 26 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 50 L/sΔz = 9 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0.015, ΣK = 6

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 85%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6η = 85%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 397.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
闸门d = 3 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN

答案

F = 397.3 kN
2.静水压力

答案: ycp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 1 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.5·1.5 = 22.62 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.125/(1.5·1.5) = 1.556 m

答案

ycp = 1.556 m
3.连续性和伯努利

答案: Q = 9.641 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.64·0.001963·7.672 = 0.009641 m³/s = 9.641 L/s

答案

Q = 9.641 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 162.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(100/75)² = 5.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 5.333²)/1000 = −9.722 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−9.722) − 98.1 = 162.2 kPa

答案

p2 = 162.2 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 41.67 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(50/0.075)·2.5²/(2·9.81) = 4.247 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·4.247 = 41667 Pa = 41.67 kPa

答案

Δp = 41.67 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 4.45 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.1 = 25
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 25 + 11.4)·0.119 = 4.45 m

答案

H = 4.45 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 12.75 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·26 = 7.652 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 7.652/0.6 = 12.75 kW

答案

Pshaft = 12.75 kW
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 6.199 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.5 + 6)·0.1291 = 1.743 m

泵扬程

H = Δz + hL = 9 + 1.743 = 10.74 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·10.74/0.85 = 6.199 kW

答案

Pshaft = 6.199 kW

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