静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4.5 m，流量系数为 0.63。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 25 mmh = 4.5 mCd = 0.63g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 130 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 130 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 80 L/s 的流量流过一根长 400 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 80 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 400 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 40 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 40 mL = 400 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 62 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 8.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 62 mPshaft = 8.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 27 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 20 L/sΔz = 27 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 176.6 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·4.5 = 176.6 kN
答案
F = 176.6 kN
2.静水压力
答案: F = 98.88 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4·2 = 98.88 kN
答案
F = 98.88 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 2.906 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.63·0.0004909·9.396 = 0.002906 m³/s = 2.906 L/s
答案
Q = 2.906 L/s
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 37.58 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(200/75)² = 5.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 5.333²)/1000 = −13.94 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 130 + (−13.94) − 78.48 = 37.58 kPa
答案
p2 = 37.58 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 18.51 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
速度水头
V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.2)·2.546²/(2·9.81) = 18.51 m
答案
hf = 18.51 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 339.3 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·400/0.3 = 26.67
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
40 = (26.67 + 7.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·40/34.07) = 4.8 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.8·0.07069 = 0.3393 m³/s = 339.3 L/s
答案
Q = 339.3 L/s
7.水泵与泵功率
答案: η = 75.09 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·62 = 6.082 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 6.082/8.1 = 75.09%
答案
η = 75.09%
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 10.09 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0.3305 = 11.57 m
泵扬程
H = Δz + hL = 27 + 11.57 = 38.57 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·38.57/0.75 = 10.09 kW
答案
Pshaft = 10.09 kW
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