流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 150 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 80 mm，喉部 40 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 300 mm。流量系数为 0.95。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 300 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.3 m/s 的速度流过一根长 150 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.3 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？

Q = 75 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 74 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 68.3 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 80 L/sH = 74 mP_shaft = 68.3 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 4p_tank = 250 kPa

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.818 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.4219/(2.75·2.25) = 2.818 m

答案

y_cp = 2.818 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 127 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(150/75)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−22.97) = 127 kPa

答案

p₂ = 127 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 10.62 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.3 = 37082 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 40/80 = 0.5

v₂ = √(2·37082/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.894 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.001257·8.894 = 0.01062 m³/s = 10.62 L/s

答案

Q = 10.62 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 17.75 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.2)·1.3²/(2·9.81) = 1.809 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·1.809 = 17745 Pa = 17.75 kPa

答案

Δp = 17.75 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.13 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.25 = 15

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

总水头损失

h_f = 15·0.119 = 1.785 m

h_m = 2.9·0.119 = 0.345 m

Δz = h_f + h_m = 2.13 m

答案

Δz = 2.13 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 85.03 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·74 = 58.08 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 58.08/68.3 = 85.03%

答案

η = 85.03%

8.水泵与泵功率

答案: H = 34.22 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8.8 + 4)·0.1354 = 1.733 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 25.48 + 1.733 = 34.22 m

答案

H = 34.22 m

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