流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 38 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 38 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 340 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 340 kPav₁ = 3 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 6 L/s 的流量流过一根长 50 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 6 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 12 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 12 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 26 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 34 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 80 L/sH = 26 mP_shaft = 34 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 40 L/sΔz = 11 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 60.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答案

F = 60.7 kN

2.静水压力

答案: F = 389.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·9 = 389.4 kN

答案

F = 389.4 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 186.3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·38000/(1000·(1 − 0.3164))) = 10.54 m/s

v₁ = 5.931 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·10.54 = 0.1863 m³/s = 186.3 L/s

答案

Q = 186.3 L/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 194 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/75)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−67.5) − 78.48 = 194 kPa

答案

p₂ = 194 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 11.9 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.006/0.001963 = 3.056 m/s

速度水头

V²/(2g) = 3.056²/(2·9.81) = 0.4759 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(50/0.05)·3.056²/(2·9.81) = 11.9 m

答案

h_f = 11.9 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 42.12 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.15 = 29.33

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

12 = (29.33 + 12.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·12/41.43) = 2.384 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.384·0.01767 = 0.04212 m³/s = 42.12 L/s

答案

Q = 42.12 L/s

7.水泵与泵功率

答案: η = 60.01 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·26 = 20.4 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 20.4/34 = 60.01%

答案

η = 60.01%

8.水泵与泵功率

答案: H = 25.62 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0.2611 = 14.62 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 11 + 14.62 = 25.62 m

答案

H = 25.62 m

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