流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 4 mH = 3 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 1.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 50 mm, p2​ = 70 kPa

水以 14 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。窄段的压强为 70 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 14 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 70 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
H = ?d1​ = 100 mmp1​ = 80 kPad2​ = 30 mm

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 80 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d1 = 100 mmp1 = 80 kPa (表压)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 8 L/sD = 100 mmL = 1000 mf = 0.02

水以 8 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 8 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 2Δz = ?L = 150 m, D = 150 mm, f = 0.022× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 50 L/s？

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 150 L/sH = 54 m

在一次试验中，水泵以 54 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 105.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 150 L/sH = 54 mPshaft = 105.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
PQ = 80 L/sΔz = 10 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0.015, ΣK = 3

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 3
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 323.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
闸门d = 4 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·6 = 323.7 kN

答案

F = 323.7 kN
2.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
闸门d = 3 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·1.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 93.83 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.014/0.007854 = 1.783 m/s
v2 = Q/A2 = 0.014/0.001963 = 7.13 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 70 + ½·1000·(7.13² − 1.783²)/1000 = 70 + 23.83 = 93.83 kPa

答案

p1 = 93.83 kPa
4.连续性和伯努利

答案: H = 8.222 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 30/100 = 0.3
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0.9919)) = 12.7 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v2²/(2g) = 12.7²/(2·9.81) = 8.222 m

答案

H = 8.222 m
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 10.58 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(1000/0.1)·1.019²/(2·9.81) = 10.58 m

答案

hf = 10.58 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 9.834 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

损失系数

f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

总水头损失

hf = 20·0.408 = 8.161 m
hm = 4.1·0.408 = 1.673 m
Δz = hf + hm = 9.834 m

答案

Δz = 9.834 m
7.水泵与泵功率

答案: η = 75.03 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·54 = 79.46 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 79.46/105.9 = 75.03%

答案

η = 75.03%
8.水泵与泵功率

答案: H = 13.47 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.5 + 3)·0.3305 = 3.47 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 10 + 3.47 = 13.47 m

答案

H = 13.47 m

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