静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 24 kPa。忽略损失，求流量 Q。
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 24 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 50 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。
d1 = 75 mmp1 = 50 kPa (表压)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.5 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 100 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.5 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 12 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 12 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 76 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 150 L/sH = 76 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 300 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 75 L/sΔz = 18 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 159.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·5 = 159.4 kN
答案
F = 159.4 kN
2.静水压力
答案: F = 166.9 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.5·3 = 166.9 kN
答案
F = 166.9 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 148.1 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
连续性
v1 = v2·(150/200)² = 0.5625·v2
入口与喉部之间的伯努利方程
管道是水平的，所以只有压强和流速变化。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·24000/(1000·(1 − 0.3164))) = 8.38 m/s
v1 = 4.714 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.01767·8.38 = 0.1481 m³/s = 148.1 L/s
答案
Q = 148.1 L/s
4.连续性和伯努利
答案: H = 5.231 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 30/75 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9744)) = 10.13 m/s
射流高度
沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。
H = v2²/(2g) = 10.13²/(2·9.81) = 5.231 m
答案
H = 5.231 m
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 67.5 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(300/0.1)·1.5²/(2·9.81) = 6.881 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·6.881 = 67500 Pa = 67.5 kPa
答案
Δp = 67.5 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 87.86 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.018·200/0.2 = 18
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
12 = (18 + 12.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·12/30.1) = 2.797 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 2.797·0.03142 = 0.08786 m³/s = 87.86 L/s
答案
Q = 87.86 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 195.5 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·76 = 111.8 kW
轴功率
Pshaft = 111.8/0.65 = 172.1 kW
电功率
Pel = 172.1/0.88 = 195.5 kW
答案
Pel = 195.5 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 61.36 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0.2905 = 12.78 m
压力水头
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 18 + 30.58 + 12.78 = 61.36 m
答案
H = 61.36 m
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