静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 250 mm，喉部直径 125 mm。入口处的压强比喉部高 31 kPa。忽略损失，求流量 Q。
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 31 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 70 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 流量 Q。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 70 kPa (表压)h = 5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 0.9 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 0.9 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 200 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 46 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 30.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 50 L/sH = 46 mPshaft = 30.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 100 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 110.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·4.5 = 110.4 kN
答案
F = 110.4 kN
2.静水压力
答案: F = 43.16 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.5·2 = 43.16 kN
答案
F = 43.16 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 99.8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
连续性
v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2
入口与喉部之间的伯努利方程
管道是水平的，所以只有压强和流速变化。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·31000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.132 m/s
v1 = 2.033 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.01227·8.132 = 0.0998 m³/s = 99.8 L/s
答案
Q = 99.8 L/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 4.848 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(70000/1000 + 9.81·5)) = 15.43 m/s
流量
Q = A·v = 0.0003142·15.43 = 0.004848 m³/s = 4.848 L/s
答案
Q = 4.848 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 108 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.075)·0.9²/(2·9.81) = 11.01 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·11.01 = 108000 Pa = 108 kPa
答案
Δp = 108 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 2.761 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m
损失系数
f·L/D = 0.022·200/0.3 = 14.67
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 14.67 + 11.4)·0.102 = 2.761 m
答案
H = 2.761 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 74.96 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·46 = 22.56 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 22.56/30.1 = 74.96%
答案
η = 74.96%
8.水泵与泵功率
答案: H = 26.74 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.4 + 8)·0.2115 = 4.738 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 22 + 4.738 = 26.74 m
答案
H = 26.74 m
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