静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 50 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4 m，流量系数为 0.6。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 50 mmh = 4 mCd = 0.6g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 280 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 280 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.9 m/s 的速度流过一根长 200 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.9 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？
Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 60% 的水泵以 80 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 60 L/sH = 80 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 12 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 12 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 239.1 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN
答案
F = 239.1 kN
2.静水压力
答案: F = 222.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3·6 = 222.5 kN
答案
F = 222.5 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 10.44 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.6·0.001963·8.859 = 0.01044 m³/s = 10.44 L/s
答案
Q = 10.44 L/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 71.49 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.28 = 34610 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 100/150 = 0.6667
v2 = √(2·34610/(1000·(1 − 0.1975))) = 9.288 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.007854·9.288 = 0.07149 m³/s = 71.49 L/s
答案
Q = 71.49 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 216.6 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.05)·1.9²/(2·9.81) = 22.08 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·22.08 = 216600 Pa = 216.6 kPa
答案
Δp = 216.6 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 1.743 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m
损失系数
f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
总水头损失
hf = 22·0.06529 = 1.436 m
hm = 4.7·0.06529 = 0.3068 m
Δz = hf + hm = 1.743 m
答案
Δz = 1.743 m
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 78.48 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·80 = 47.09 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 47.09/0.6 = 78.48 kW
答案
Pshaft = 78.48 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 13.41 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 8)·0.119 = 5.414 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 8 + 5.414 = 13.41 m
答案
H = 13.41 m
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