静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 200 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。
p0 − p = 200 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1 m，出口（通大气）低于水面 3 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求 C 点的绝对压强 pC。大气压为 101.3 kPa。
d = 40 mmzC = +1 mz2 = −3 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.4 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 100 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.4 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 12 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 78 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 85%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 15 L/sH = 78 mηpump = 85%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 15 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 80%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 80%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 58.86 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN
答案
F = 58.86 kN
2.静水压力
答案: F = 41.48 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.75·1.5 = 41.48 kN
答案
F = 41.48 kN
3.连续性和伯努利
答案: v = 18.26 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·200/1.2) = 18.26 m/s
答案
v = 18.26 m/s
4.连续性和伯努利
答案: pC = 62.06 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
软管中的流速
液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。
v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s
从液面到 C 的伯努利方程
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa
答案
pC = 62.06 kPa
如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 235.2 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(800/0.1)·1.4²/(2·9.81) = 23.98 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·23.98 = 235200 Pa = 235.2 kPa
答案
Δp = 235.2 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 114.9 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·150/0.2 = 15
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
12 = (15 + 2.6)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·12/17.6) = 3.657 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.657·0.03142 = 0.1149 m³/s = 114.9 L/s
答案
Q = 114.9 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 15.34 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·78 = 11.48 kW
轴功率
Pshaft = 11.48/0.85 = 13.5 kW
电功率
Pel = 13.5/0.88 = 15.34 kW
答案
Pel = 15.34 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 23.15 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.2905 = 10.17 m
泵扬程
H = Δz + hL = 15 + 10.17 = 25.17 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·25.17/0.8 = 23.15 kW
答案
Pshaft = 23.15 kW
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