流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 50 mm, Cd​ = 0.61h = 2 m

水从一个大型敞口水箱经直径 50 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 2 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 50 mmh = 2 mCd = 0.61g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12Δh = 240 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 240 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 240 mmCd = 0.99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 5 L/sD = 100 mmL = 300 mf = 0.028

水以 5 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 5 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = ?L = 100 m, D = 300 mm, f = 0.0253× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？

Q = 80 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 40 L/sH = 44 m

一台水泵以 44 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 40 L/sH = 44 mηpump = 78%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 75 L/sΔz = 7 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.015, ΣK = 8

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 70%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 70%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 49.05 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答案

F = 49.05 kN
2.静水压力

答案: ycp = 1.4 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·2.25 = 27.59 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.4219/(1.25·2.25) = 1.4 m

答案

ycp = 1.4 m
3.连续性和伯努利

答案: Q = 7.503 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.61·0.001963·6.264 = 0.007503 m³/s = 7.503 L/s

答案

Q = 7.503 L/s
4.连续性和伯努利

答案: Q = 163 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.24 = 29665 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/200 = 0.75
v2 = √(2·29665/(1000·(1 − 0.3164))) = 9.316 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.99·0.01767·9.316 = 0.163 m³/s = 163 L/s

答案

Q = 163 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 1.735 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.005/0.007854 = 0.6366 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6366²/(2·9.81) = 0.02066 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(300/0.1)·0.6366²/(2·9.81) = 1.735 m

答案

hf = 1.735 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.354 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.3 = 8.333
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

hf = 8.333·0.06529 = 0.544 m
hm = 12.4·0.06529 = 0.8095 m
Δz = hf + hm = 1.354 m

答案

Δz = 1.354 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 25.15 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·44 = 17.27 kW

轴功率

Pshaft = 17.27/0.78 = 22.14 kW

电功率

Pel = 22.14/0.88 = 25.15 kW

答案

Pel = 25.15 kW
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 13.23 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 8)·0.2905 = 5.592 m

泵扬程

H = Δz + hL = 7 + 5.592 = 12.59 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·12.59/0.7 = 13.23 kW

答案

Pshaft = 13.23 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics