流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 1.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 150 mmd2​ = 100 mm12p1​ − p2​ = 7 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 100 mm。入口处的压强比喉部高 7 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 7 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 140 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 25 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 140 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 140 kPav1 = 1 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 0.8 m/sD = 250 mmL = 400 mf = 0.015

水（ρ = 1000 kg/m³）以 0.8 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 0.8 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 2Δz = 32 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.0222× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 32 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 32 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 80 L/sH = 26 m

一台水泵以 26 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 72%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 26 mηpump = 72%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 20 L/sΔz = 15 mL = 200 m, D = 100 mm, f = 0.022, ΣK = 6

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 15 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 6
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 143.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·4.5 = 143.5 kN

答案

F = 143.5 kN
2.静水压力

答案: F = 169.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.25·7.5 = 169.7 kN

答案

F = 169.7 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 32.8 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(100/150)² = 0.4444·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·7000/(1000·(1 − 0.1975))) = 4.177 m/s
v1 = 1.856 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.007854·4.177 = 0.0328 m³/s = 32.8 L/s

答案

Q = 32.8 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 80.38 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/25)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 140 + (−40) − 19.62 = 80.38 kPa

答案

p2 = 80.38 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 7.68 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(400/0.25)·0.8²/(2·9.81) = 0.7829 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·0.7829 = 7680 Pa = 7.68 kPa

答案

Δp = 7.68 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 173.4 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.2 = 16.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

32 = (16.5 + 4.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·32/20.6) = 5.521 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.521·0.03142 = 0.1734 m³/s = 173.4 L/s

答案

Q = 173.4 L/s
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 32.2 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·26 = 20.4 kW

轴功率

Pshaft = 20.4/0.72 = 28.34 kW

电功率

Pel = 28.34/0.88 = 32.2 kW

答案

Pel = 32.2 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 31.53 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0.3305 = 16.53 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 15 + 16.53 = 31.53 m

答案

H = 31.53 m

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