流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 200 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 70 kPa。水从水面以下 2.5 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 70 kPa (表压)h = 2.5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.7 m/s 的平均流速流过一根长 200 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.7 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 50 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 34.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 60 L/sH = 50 mP_shaft = 34.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 22 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 71.74 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

答案

F = 71.74 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.25·2.25 = 43.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.4219/(2.25·2.25) = 2.333 m

答案

y_cp = 2.333 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 198.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/40)² = 1.758 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.758²)/1000 = −1.42 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−1.42) = 198.6 kPa

答案

p₂ = 198.6 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 13.75 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·2.5)) = 13.75 m/s

答案

v = 13.75 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 22.29 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.7²/(2·9.81) = 0.3716 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(200/0.05)·2.7²/(2·9.81) = 22.29 m

答案

h_f = 22.29 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 15.34 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s

V²/(2g) = 0.5164 m

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.2 = 22

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

总水头损失

h_f = 22·0.5164 = 11.36 m

h_m = 7.7·0.5164 = 3.976 m

Δz = h_f + h_m = 15.34 m

答案

Δz = 15.34 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 85.06 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·50 = 29.43 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 29.43/34.6 = 85.06%

答案

η = 85.06%

8.水泵与泵功率

答案: H = 34.56 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.3305 = 12.56 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 22 + 12.56 = 34.56 m

答案

H = 34.56 m

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