流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 210 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 210 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 50 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 250 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 250 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 600 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 75 L/sL = 600 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 70 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 22.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 25 L/sH = 70 mP_shaft = 22.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 350 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8p_tank = 350 kPa

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.633 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·4 = 123.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 1.333/(2.5·4) = 2.633 m

答案

y_cp = 2.633 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 142.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−67.5) = 142.5 kPa

答案

p₂ = 142.5 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 15.62 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.25 = 30902 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 50/100 = 0.5

v₂ = √(2·30902/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.119 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.001963·8.119 = 0.01562 m³/s = 15.62 L/s

答案

Q = 15.62 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 11.96 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2²/(2·9.81) = 0.2039 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.15)·2²/(2·9.81) = 11.96 m

答案

h_f = 11.96 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.163 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

损失系数

f·L/D = 0.015·600/0.3 = 30

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 30 + 6.7)·0.05738 = 2.163 m

答案

H = 2.163 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 74.97 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·70 = 17.17 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 17.17/22.9 = 74.97%

答案

η = 74.97%

8.水泵与泵功率

答案: H = 54.01 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.1354 = 4.332 m

压力水头

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 35.68 + 4.332 = 54.01 m

答案

H = 54.01 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics