流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 140 kPa

水以 34 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 140 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 34 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 140 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 360 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 360 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 360 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.3 m/sD = 200 mmL = 500 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.3 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.3 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = ?L = 300 m, D = 200 mm, f = 0.023× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 25 L/sH = 36 m

一台效率为 70% 的水泵以 36 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 36 mη = 70%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 75 L/sΔz = 18 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.015, ΣK = 6

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 18 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1.5 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN
2.静水压力

答案: ycp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.75·2.5 = 37.77 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.75 + 1.302/(1.75·2.5) = 2.048 m

答案

ycp = 2.048 m
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 160.2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.034/0.007854 = 4.329 m/s
v2 = Q/A2 = 0.034/0.004418 = 7.696 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 140 + ½·1000·(7.696² − 4.329²)/1000 = 140 + 20.24 = 160.2 kPa

答案

p1 = 160.2 kPa
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 310.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 360 + (−0.2701) − 49.05 = 310.7 kPa

答案

p2 = 310.7 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 119 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.2)·2.3²/(2·9.81) = 12.13 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·12.13 = 119025 Pa = 119 kPa

答案

Δp = 119 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 21.9 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m

损失系数

f·L/D = 0.02·300/0.2 = 30
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

hf = 30·0.5164 = 15.49 m
hm = 12.4·0.5164 = 6.404 m
Δz = hf + hm = 21.9 m

答案

Δz = 21.9 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 12.61 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·36 = 8.829 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 8.829/0.7 = 12.61 kW

答案

Pshaft = 12.61 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 26.28 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 6)·0.2905 = 8.279 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 18 + 8.279 = 26.28 m

答案

H = 26.28 m

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