流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 3 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 60 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 60 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 60 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 110 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 110 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 110 kPav1 = 2.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.1 m/sD = 75 mmL = 300 mf = 0.015

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.1 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.1 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10自由出流H = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0.0153× 弯头 (K = 0.3)

一根长 150 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 15 L/sH = 44 m

一台效率为 78% 的水泵以 44 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 44 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 75 L/sΔz = 19 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.02, ΣK = 8

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 19 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 65%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 19 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
闸门d = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN
2.静水压力

答案: F = 259 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·5·6 = 259 kN

答案

F = 259 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 199.9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(150/300)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·60000/(1000·(1 − 0.0625))) = 11.31 m/s
v1 = 2.828 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01767·11.31 = 0.1999 m³/s = 199.9 L/s

答案

Q = 199.9 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 16.16 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 110 + (−15.36) − 78.48 = 16.16 kPa

答案

p2 = 16.16 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 132.3 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.075)·2.1²/(2·9.81) = 13.49 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·13.49 = 132300 Pa = 132.3 kPa

答案

Δp = 132.3 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.299 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.3 = 7.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 7.5 + 11.4)·0.06529 = 1.299 m

答案

H = 1.299 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 8.301 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·44 = 6.475 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 6.475/0.78 = 8.301 kW

答案

Pshaft = 8.301 kW
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 34 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.2905 = 11.04 m

泵扬程

H = Δz + hL = 19 + 11.04 = 30.04 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·30.04/0.65 = 34 kW

答案

Pshaft = 34 kW

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