静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 500 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。
p0 − p = 500 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 120 kPa。水从水面以下 1 m 处直径 50 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 120 kPa (表压)h = 1 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 2.7 m/s 的平均流速流过一根长 200 m、内径 150 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2.7 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 34 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 34 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 80% 的水泵以 28 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 25 L/sH = 28 mη = 80%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 72%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sΔz = 18 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5η = 72%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 235.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN
答案
F = 235.4 kN
2.静水压力
答案: ycp = 3.111 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3·3 = 77.7 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 1/(3·3) = 3.111 m
答案
ycp = 3.111 m
3.连续性和伯努利
答案: v = 28.87 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·500/1.2) = 28.87 m/s
答案
v = 28.87 m/s
4.连续性和伯努利
答案: v = 16.11 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(120000/1000 + 9.81·1)) = 16.11 m/s
答案
v = 16.11 m/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 7.431 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2.7²/(2·9.81) = 0.3716 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(200/0.15)·2.7²/(2·9.81) = 7.431 m
答案
hf = 7.431 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 170.3 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.018·200/0.2 = 18
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
34 = (18 + 4.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·34/22.7) = 5.421 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 5.421·0.03142 = 0.1703 m³/s = 170.3 L/s
答案
Q = 170.3 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 8.584 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·28 = 6.867 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 6.867/0.8 = 8.584 kW
答案
Pshaft = 8.584 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 13.94 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 5)·0.2611 = 7.573 m
泵扬程
H = Δz + hL = 18 + 7.573 = 25.57 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·25.57/0.72 = 13.94 kW
答案
Pshaft = 13.94 kW
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