流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 100 mmd2​ = 50 mm12p1​ − p2​ = 54 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 50 mm。入口处的压强比喉部高 54 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 54 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 200 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 75 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 170 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 170 kPav1 = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 1 m/sD = 100 mmL = 1000 mf = 0.025

水以 1 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 1 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 5自由出流H = ?L = 300 m, D = 250 mm, f = 0.0224× 弯头 (K = 0.3)

一根长 300 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 15 L/sH = 50 m

一台水泵以 50 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 50 mηpump = 78%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0.02, ΣK = 5

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 5η = 75%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 98.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

答案

F = 98.1 kN
2.静水压力

答案: F = 197.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4·4 = 197.8 kN

答案

F = 197.8 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 21.07 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(50/100)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·54000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.73 m/s
v1 = 2.683 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.001963·10.73 = 0.02107 m³/s = 21.07 L/s

答案

Q = 21.07 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 96.17 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(200/75)² = 7.111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 7.111²)/1000 = −24.78 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 170 + (−24.78) − 49.05 = 96.17 kPa

答案

p2 = 96.17 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 12.74 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1²/(2·9.81) = 0.05097 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(1000/0.1)·1²/(2·9.81) = 12.74 m

答案

hf = 12.74 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 7.213 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

损失系数

f·L/D = 0.022·300/0.25 = 26.4
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 26.4 + 6.7)·0.2115 = 7.213 m

答案

H = 7.213 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 9.929 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·50 = 7.357 kW

轴功率

Pshaft = 7.357/0.78 = 9.433 kW

电功率

Pel = 9.433/0.95 = 9.929 kW

答案

Pel = 9.929 kW
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 12.87 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0.1354 = 2.301 m

泵扬程

H = Δz + hL = 10 + 2.301 = 12.3 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·12.3/0.75 = 12.87 kW

答案

Pshaft = 12.87 kW

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