流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 3 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 200 mm, p1​ = ?d2​ = 150 mm, p2​ = 270 kPa

水以 31 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 150 mm。窄段的压强为 270 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 31 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 270 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 150 mmd2​ = 75 mm12Δh = 190 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 75 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 190 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 190 mmCd = 0.99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 4 L/sD = 50 mmL = 300 mf = 0.03

水以 4 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 4 L/sL = 300 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 0.2Δz = ?L = 100 m, D = 300 mm, f = 0.0222× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 200 L/s？

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 25 L/sH = 44 m

一台效率为 82% 的水泵以 44 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 44 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 40 L/sΔz = 13 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 5

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 40 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 49.66 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

答案

F = 49.66 kN
2.静水压力

答案: ycp = 2.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
闸门d = 1 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.5·4.5 = 139.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 3.375/(2.5·4.5) = 2.8 m

答案

ycp = 2.8 m
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 271.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.031/0.03142 = 0.9868 m/s
v2 = Q/A2 = 0.031/0.01767 = 1.754 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 270 + ½·1000·(1.754² − 0.9868²)/1000 = 270 + 1.052 = 271.1 kPa

答案

p1 = 271.1 kPa
4.连续性和伯努利

答案: Q = 30.96 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.19 = 23485 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 75/150 = 0.5
v2 = √(2·23485/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.078 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.99·0.004418·7.078 = 0.03096 m³/s = 30.96 L/s

答案

Q = 30.96 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 38.07 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.004/0.001963 = 2.037 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.037²/(2·9.81) = 0.2115 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(300/0.05)·2.037²/(2·9.81) = 38.07 m

答案

hf = 38.07 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.931 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.3 = 7.333
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

总水头损失

hf = 7.333·0.408 = 2.992 m
hm = 2.3·0.408 = 0.9385 m
Δz = hf + hm = 3.931 m

答案

Δz = 3.931 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 13.16 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·44 = 10.79 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 10.79/0.82 = 13.16 kW

答案

Pshaft = 13.16 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 17.44 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0.2611 = 4.439 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 13 + 4.439 = 17.44 m

答案

H = 17.44 m

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