静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 75 mm。入口处的压强比喉部高 58 kPa。忽略损失，求流量 Q。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 58 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 90 kPa。水从水面以下 2 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 90 kPa (表压)h = 2 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 60 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 60 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 300 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 75 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 82% 的水泵以 44 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 20 L/sH = 44 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 120 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 58.86 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN
答案
F = 58.86 kN
2.静水压力
答案: F = 90.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.5·6 = 90.5 kN
答案
F = 90.5 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 49.14 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
连续性
v1 = v2·(75/150)² = 0.25·v2
入口与喉部之间的伯努利方程
管道是水平的，所以只有压强和流速变化。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·58000/(1000·(1 − 0.0625))) = 11.12 m/s
v1 = 2.781 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.004418·11.12 = 0.04914 m³/s = 49.14 L/s
答案
Q = 49.14 L/s
4.连续性和伯努利
答案: v = 14.81 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(90000/1000 + 9.81·2)) = 14.81 m/s
答案
v = 14.81 m/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 4.648 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(200/0.2)·1.91²/(2·9.81) = 4.648 m
答案
hf = 4.648 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 4.081 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
损失系数
f·L/D = 0.018·300/0.25 = 21.6
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 21.6 + 11.7)·0.119 = 4.081 m
答案
H = 4.081 m
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 10.53 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·44 = 8.633 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 8.633/0.82 = 10.53 kW
答案
Pshaft = 10.53 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 14.05 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 4)·0.3046 = 3.046 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 11 + 3.046 = 14.05 m
答案
H = 14.05 m
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