静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 400 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。
p0 − p = 400 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 50 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 50 kPa (表压)h = 5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.7 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.7 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 100 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 23 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 23 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 46 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 5.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 46 mPshaft = 5.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5ptank = 150 kPa
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 49.05 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN
答案
F = 49.05 kN
2.静水压力
答案: F = 207.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.75·7.5 = 207.4 kN
答案
F = 207.4 kN
3.连续性和伯努利
答案: v = 25.82 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·400/1.2) = 25.82 m/s
答案
v = 25.82 m/s
4.连续性和伯努利
答案: v = 14.07 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(50000/1000 + 9.81·5)) = 14.07 m/s
答案
v = 14.07 m/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 21.87 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(100/0.25)·2.7²/(2·9.81) = 2.229 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.229 = 21870 Pa = 21.87 kPa
答案
Δp = 21.87 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 181 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.022·100/0.2 = 11
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
23 = (11 + 2.6)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·23/13.6) = 5.76 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 5.76·0.03142 = 0.181 m³/s = 181 L/s
答案
Q = 181 L/s
7.水泵与泵功率
答案: η = 80.58 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·46 = 4.513 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 4.513/5.6 = 80.58%
答案
η = 80.58%
8.水泵与泵功率
答案: H = 36.13 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 5)·0.2611 = 13.84 m
压力水头
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 15.29 + 13.84 = 36.13 m
答案
H = 36.13 m
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