流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 50 mm, p2​ = 120 kPa

水以 15 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。窄段的压强为 120 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 15 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 120 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 160 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 160 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 160 kPav1 = 2 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.2 m/sD = 250 mmL = 100 mf = 0.022

水以 2.2 m/s 的平均流速流过一根长 100 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 2.2 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 2Δz = 5 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0.0224× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 5 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 20 L/sH = 26 m

在一次试验中，水泵以 26 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 6.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 26 mPshaft = 6.2 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
PQ = 50 L/sΔz = 33 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.025, ΣK = 6

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 33 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 78%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 33 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6η = 78%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 95.65 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 2.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

答案

F = 95.65 kN
2.静水压力

答案: ycp = 5.067 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·2 = 98.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5 + 0.6667/(5·2) = 5.067 m

答案

ycp = 5.067 m
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 147.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
v2 = Q/A2 = 0.015/0.001963 = 7.639 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 120 + ½·1000·(7.639² − 1.91²)/1000 = 120 + 27.36 = 147.4 kPa

答案

p1 = 147.4 kPa
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 127.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/40)² = 7.031 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 7.031²)/1000 = −22.72 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 160 + (−22.72) − 9.81 = 127.5 kPa

答案

p2 = 127.5 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 2.171 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.2²/(2·9.81) = 0.2467 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.25)·2.2²/(2·9.81) = 2.171 m

答案

hf = 2.171 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 33.87 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.15 = 22
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

5 = (22 + 4.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·5/26.7) = 1.917 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 1.917·0.01767 = 0.03387 m³/s = 33.87 L/s

答案

Q = 33.87 L/s
7.水泵与泵功率

答案: η = 82.28 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·26 = 5.101 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 5.101/6.2 = 82.28%

答案

η = 82.28%
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 26.57 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.67 + 6)·0.408 = 9.249 m

泵扬程

H = Δz + hL = 33 + 9.249 = 42.25 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·42.25/0.78 = 26.57 kW

答案

Pshaft = 26.57 kW

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