静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 450 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。
p0 − p = 450 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 75 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 260 mm。流量系数为 0.95。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 260 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.5 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.5 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 14 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 14 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 85% 的水泵以 24 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sH = 24 mη = 85%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 14 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 78%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 60 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 44.15 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1.5 = 44.15 kN
答案
F = 44.15 kN
2.静水压力
答案: ycp = 4.083 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 1/(4·3) = 4.083 m
答案
ycp = 4.083 m
3.连续性和伯努利
答案: v = 27.39 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·450/1.2) = 27.39 m/s
答案
v = 27.39 m/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 34.75 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.26 = 32138 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 75/150 = 0.5
v2 = √(2·32138/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.28 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.004418·8.28 = 0.03475 m³/s = 34.75 L/s
答案
Q = 34.75 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 33 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.075)·1.5²/(2·9.81) = 3.364 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·3.364 = 33000 Pa = 33 kPa
答案
Δp = 33 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 91.9 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
14 = (20 + 12.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·14/32.1) = 2.925 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 2.925·0.03142 = 0.0919 m³/s = 91.9 L/s
答案
Q = 91.9 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 11.08 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·24 = 9.418 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 9.418/0.85 = 11.08 kW
答案
Pshaft = 11.08 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 13.27 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 8)·0.1859 = 3.579 m
泵扬程
H = Δz + hL = 14 + 3.579 = 17.58 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·17.58/0.78 = 13.27 kW
答案
Pshaft = 13.27 kW
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