流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 150 mmd2​ = 100 mm12p1​ − p2​ = 27 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 100 mm。入口处的压强比喉部高 27 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 27 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12Δh = 320 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 320 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 320 mmCd = 0.96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 30 L/sD = 250 mmL = 1000 mf = 0.018

水以 30 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 30 L/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0.0184× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 40 L/s？

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 10 L/sH = 10 m

一台效率为 65% 的水泵以 10 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 10 mη = 65%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 75 L/sΔz = 16 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.018, ΣK = 8

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN
2.静水压力

答案: F = 46.35 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 2 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.5·1.5 = 46.35 kN

答案

F = 46.35 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 64.43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(100/150)² = 0.4444·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·27000/(1000·(1 − 0.1975))) = 8.203 m/s
v1 = 3.646 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.007854·8.203 = 0.06443 m³/s = 64.43 L/s

答案

Q = 64.43 L/s
4.连续性和伯努利

答案: Q = 182.5 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.32 = 39554 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/200 = 0.75
v2 = √(2·39554/(1000·(1 − 0.3164))) = 10.76 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.96·0.01767·10.76 = 0.1825 m³/s = 182.5 L/s

答案

Q = 182.5 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 1.371 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.03/0.04909 = 0.6112 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6112²/(2·9.81) = 0.01904 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.25)·0.6112²/(2·9.81) = 1.371 m

答案

hf = 1.371 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 9.584 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.15 = 24
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

hf = 24·0.2611 = 6.267 m
hm = 12.7·0.2611 = 3.316 m
Δz = hf + hm = 9.584 m

答案

Δz = 9.584 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 1.509 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·10 = 0.981 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 0.981/0.65 = 1.509 kW

答案

Pshaft = 1.509 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 22.25 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.5 + 8)·0.2905 = 6.245 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 16 + 6.245 = 22.25 m

答案

H = 22.25 m

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