流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 3 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 3 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 30 mm, Cd​ = 0.61h = 5.5 m

水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 5.5 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 30 mmh = 5.5 mCd = 0.61g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 150 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 150 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 150 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 0.9 m/sD = 250 mmL = 1000 mf = 0.025

水（ρ = 1000 kg/m³）以 0.9 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 0.9 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0.023× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 120 L/s？

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 30 L/sH = 32 m

一台水泵以 32 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 32 mηpump = 75%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 50 L/sΔz = 8 mL = 300 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 8

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
闸门d = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN
2.静水压力

答案: ycp = 3.714 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
闸门d = 2 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.5·6 = 211.2 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 4.5/(3.5·6) = 3.714 m

答案

ycp = 3.714 m
3.连续性和伯努利

答案: Q = 4.479 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.61·0.0007069·10.39 = 0.004479 m³/s = 4.479 L/s

答案

Q = 4.479 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 93.31 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(150/75)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−46.88) − 9.81 = 93.31 kPa

答案

p2 = 93.31 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 40.5 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(1000/0.25)·0.9²/(2·9.81) = 4.128 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·4.128 = 40500 Pa = 40.5 kPa

答案

Δp = 40.5 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 8.651 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.25 = 16
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

hf = 16·0.3046 = 4.874 m
hm = 12.4·0.3046 = 3.777 m
Δz = hf + hm = 8.651 m

答案

Δz = 8.651 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 13.65 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·32 = 9.418 kW

轴功率

Pshaft = 9.418/0.75 = 12.56 kW

电功率

Pel = 12.56/0.92 = 13.65 kW

答案

Pel = 13.65 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 25.95 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0.408 = 17.95 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 8 + 17.95 = 25.95 m

答案

H = 25.95 m

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