静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 330 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 330 kPav1 = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 10 m。截面 1 处压强为 240 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 240 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 50 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 33 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 33 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 78 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 85%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 20 L/sH = 78 mηpump = 85%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 3
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 29.43 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN
答案
F = 29.43 kN
2.静水压力
答案: ycp = 2.042 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2·1.5 = 25.9 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.125/(2·1.5) = 2.042 m
答案
ycp = 2.042 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 326.8 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 330 + (−3.174) = 326.8 kPa
答案
p2 = 326.8 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 137.7 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/50)² = 3 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−4.219) − 98.1 = 137.7 kPa
答案
p2 = 137.7 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.8884 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.25)·1.019²/(2·9.81) = 0.8884 m
答案
hf = 0.8884 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 32.81 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
33 = (30 + 7.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·33/37.1) = 4.178 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.178·0.007854 = 0.03281 m³/s = 32.81 L/s
答案
Q = 32.81 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 19.15 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·78 = 15.3 kW
轴功率
Pshaft = 15.3/0.85 = 18 kW
电功率
Pel = 18/0.94 = 19.15 kW
答案
Pel = 19.15 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 11.59 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8.8 + 3)·0.3046 = 3.594 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 8 + 3.594 = 11.59 m
答案
H = 11.59 m
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