静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 2.5 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 40 mmh = 2.5 mCd = 0.61g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 330 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 330 mmCd = 0.99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1 m/s 的速度流过一根长 150 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 100 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 50 L/s？
Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 70 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 14.7 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 15 L/sH = 70 mPshaft = 14.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 23 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 23 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 5
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 29.43 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN
答案
F = 29.43 kN
2.静水压力
答案: F = 37.71 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.25·3 = 37.71 kN
答案
F = 37.71 kN
3.连续性和伯努利
答案: Q = 5.369 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.61·0.001257·7.004 = 0.005369 m³/s = 5.369 L/s
答案
Q = 5.369 L/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 191.1 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.33 = 40790 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 150/200 = 0.75
v2 = √(2·40790/(1000·(1 − 0.3164))) = 10.92 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.99·0.01767·10.92 = 0.1911 m³/s = 191.1 L/s
答案
Q = 191.1 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 22 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.075)·1²/(2·9.81) = 2.243 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.243 = 22000 Pa = 22 kPa
答案
Δp = 22 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 0.5447 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
损失系数
f·L/D = 0.02·100/0.25 = 8
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3
总水头损失
hf = 8·0.05288 = 0.423 m
hm = 2.3·0.05288 = 0.1216 m
Δz = hf + hm = 0.5447 m
答案
Δz = 0.5447 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 70.07 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·70 = 10.3 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 10.3/14.7 = 70.07%
答案
η = 70.07%
8.水泵与泵功率
答案: H = 29.12 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 5)·0.408 = 6.121 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 23 + 6.121 = 29.12 m
答案
H = 29.12 m
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